第1个回答 2019-09-15
其详细过程可以是,∫(-∞,y)xe^(-x²-y²)dx=[e^(-y²)]∫(-∞,y)xe^(-x²)dx=(-1/2)e^(-2y²)。同理,∫(-∞,y)ye^(-x²-y²)dy=(-1/2)e^(-2x²)。
∴原式=(-1/2)∫(-∞,∞)e^(-2y²)dy-(1/2)∫(-∞,∞)e^(-2x²)dx=-∫(-∞,∞)e^(-2x²)dx①。
设I=∫(-∞,∞)e^(-2y²)dy=∫(-∞,∞)e^(-2x²)dx。∴I²=∫(-∞,∞)e^(-2y²)dy∫(-∞,∞)e^(-2x²)dx。
再设x=ρcosθ,y=ρsinθ。∴I²=∫(0,2π)dθ∫(0,∞)ρe^(-2ρ²)dρ=π/2。
∴原式=-√(π/2)。
【另外,亦可借用正态分布的密度函数性质“巧”得前述①之结果。视①处的X~N(μ,δ),则其密度函数f(x)=(1/A)e^[-(x-μ)/(2δ)],其中A=δ√(2π)。由其性质,有∫(-∞,∞)f(x)dyx=1,∴∫(-∞,∞)e^[-(x-μ)/(2δ)]dx=A。令μ=0,2σ=1/2。∴∫(-∞,∞)e^(-2x)dx=√(π/2)】供参考。