计算锥面z=根号下（x^2+y^2）被柱面z^2=2x所割下部分的曲面面积

Question

如题所述

Answer 1

方法一 对于z=f(x,y),曲面面积为A=∫∫D dA=∫∫D √[1+(əf/əx)²+(əf/əy)²]dxdy锥面z=√(x²+y²)被圆柱面x²+y²=2x所割则积分区域D为：0≤x≤2,-√(2x-x²)≤y≤√(2x-x²)化为极坐标为：0≤θ≤2π,0≤r≤2cosθ锥面方程为：z=r；柱面方程为：r=2cosθəf/əx=x/r=cosθ,əf/əy=y/r=sinθ(əf/əx)²+(əf/əy)²=cos²θ+sin²θ=1∴A=∫∫D √[1+(əf/əx)²+(əf/əy)²]dxdy =∫∫D √[1+1] rdrdθ =√2∫[∫rdr]dθ=√2∫[r^2/2]dθ=√2∫[2cos²θ]dθ=√2∫[1+cos2θ]dθ=√2/2∫[1+cos2θ]d(2θ)=√2/2[(2θ+sin2θ)]=√2/2[4π-0]=2√2π 方法二：详见下图