求锥面z=根号(x^2+y^2)被圆柱面x^2+y^2=2x割下部分的曲面面积(是曲面积分)，求详细答案

Question

如题所述

Answer 1

先画草图，再求积分就行

Answer 2

对于z=f(x,y)，曲面面积为
A=∫∫D
dA=∫∫D
√[1+(əf/əx)²+(əf/əy)²]dxdy
锥面z=√(x²+y²)被圆柱面x²+y²=2x所割
则积分区域D为：0≤x≤2，-√(2x-x²)≤y≤√(2x-x²)
化为极坐标为：0≤θ≤2π，0≤r≤2cosθ
锥面方程为：z=r；柱面方程为：r=2cosθ
əf/əx=x/r=cosθ，əf/əy=y/r=sinθ
(əf/əx)²+(əf/əy)²=cos²θ+sin²θ=1
∴A=∫∫D
√[1+(əf/əx)²+(əf/əy)²]dxdy
=∫∫D
√[1+1]
rdrdθ
=√2∫<0,2π>[∫<0,2cosθ>rdr]dθ
=√2∫<0,2π>[<0,2cosθ>r^2/2]dθ
=√2∫<0,2π>[2cos²θ]dθ
=√2∫<0,2π>[1+cos2θ]dθ
=√2/2∫<0,2π>[1+cos2θ]d(2θ)
=√2/2[<0,2π>(2θ+sin2θ)]
=√2/2[4π-0]
=2√2π

Answer 3

不需要那样做
由z=√(x^2+y^2)和z^2=2x可得曲面在xoy平面的投影为dxy:(x-1)^2+y^2≤1
dz/dx=x/√(x^2+y^2),dz/dy=y/√(x^2+y^2)
√(（dz/dx）^2+（dz/dy）^2+1)=√2=>ds=√2dσxy
∫∫(∑)ds=∫∫(dxy)√2dσxy=√2*π*1^2=√2π