求e^x/x的积分

Question

如题所述

Answer 1

∫ e^x/x dx是超越积分，没有有限解析式

对e^x进行泰勒展开

∫ e^x/x dx

= ∫ ( Σ[n=(0,∝)] x^(n)/(n!) ) / x dx

= ∫ ( 1 + Σ[n=(1,∝)] x^(n)/(n!) ) / x dx

= ∫ ( 1/x + Σ[n=(1,∝)] x^(n-1)/(n!) ) dx

= lnx + Σ[n=(1,∝)] x^n/[n*(n!)] + C，C∈R

这是一个无限解析式

如果一个函数的积分存在，并且有限，就说这个函数是可积的。一般来说，被积函数不一定只有一个变量，积分域也可以是不同维度的空间，甚至是没有直观几何意义的抽象空间。

扩展资料：

对于一个函数f，如果在闭区间[a，b]上，无论怎样进行取样分割，只要它的子区间长度最大值足够小，函数f的黎曼和都会趋向于一个确定的值S，那么f在闭区间[a，b]上的黎曼积分存在，并且定义为黎曼和的极限S。这时候称函数f为黎曼可积的。将f在闭区间[a，b]上的黎曼积分。

在一维实空间中，一个区间A= [a，b] 的勒贝格测度μ(A)是区间的右端值减去左端值，b−a。这使得勒贝格积分和正常意义上的黎曼积分相兼容。在更复杂的情况下，积分的集合可以更加复杂，不再是区间，甚至不再是区间的交集或并集，其“长度”则由测度来给出。

参考资料来源：百度百科——积分

Answer 2

x*e^x的积分为x*e^x-e^x+C。

解：∫x*e^xdx

=∫xde^x

=x*e^x-∫e^xdx

=x*e^x-e^x+C

扩展资料：

1、分部积分法的形式

（1）通过对u(x)求微分后，du=u'dx中的u'比u更加简洁。

例：∫x^2*e^xdx=∫x^2de^x=x^2*e^x-∫e^xdx^2=x^2*e^x-∫2x*e^xdx

（2）通过对u(x)求微分后使其类型与v(x)的类型相同或相近。

例：∫xarctanxdx=∫arctanxd(1/2x^2)

=1/2x^2*arctanx-1/2∫x^2darctanx=1/2x^2*arctanx-1/2∫x^2/(1+x^2)dx

（3）利用有些函数经一次或二次求微分后不变的性质来进行分部积分。

例：∫e^x*sinxdx=∫sinxde^x=e^x*sinx-∫e^xdsinx=e^x*sinx-∫e^x*cosxdx

=e^x*sinx-∫cosxde^x=e^x*sinx-e^x*cosx+∫e^xdcosx

=e^x*sinx-e^x*cosx-∫e^x*sinxdx

则2∫e^x*sinxdx=e^x*sinx-e^x*cosx，可得

∫e^x*sinxdx=1/2e^x*（sinx-cosx）+C

2、常用的不定积分公式

∫1dx=x+C、∫e^xdx=e^x+C、∫cosxdx=sinx+C、∫sinxdx=-cosx+C

参考资料来源：百度百科-不定积分

Answer 3

连续用分部积分法
∫e^x/x dx
= ∫de^x/x
=e^x/x + ∫e^x/x^2 dx
=e^x/x + ∫de^x/x^2
=e^x/x + e^x/x^2 + ∫2e^x/x^3 dx
=e^x/x (0! + 1!/x + 2!/x^2 +3!/x^3+...)
=e^x/x Σ(∞, 0, n!/x^n)
没有有限的解析式
后面的求和的每项均为e^x泰勒展开各项的倒数

Answer 4

∫ e^x/x dx是超越积分，没有有限解析式 对e^x进行泰勒展开 ∫ e^x/x dx = ∫ ( Σ[n=(0,∝)] x^(n)/(n!) ) / x dx = ∫ ( 1 + Σ[n=(1,∝)] x^(n)/(n!) ) / x dx = ∫ ( 1/x + Σ[n=(1,∝)] x^(n-1)/(n!) ) dx = lnx + Σ[n=(1,

Answer 5

∫ e^x/x dx是超越积分，没有有限解析式
对e^x进行泰勒展开
∫ e^x/x dx
= ∫ ( Σ[n=(0,∝)] x^(n)/(n!) ) / x dx
= ∫ ( 1 + Σ[n=(1,∝)] x^(n)/(n!) ) / x dx
= ∫ ( 1/x + Σ[n=(1,∝)] x^(n-1)/(n!) ) dx
= lnx + Σ[n=(1,∝)] x^n/[n*(n!)] + C，C∈R
这是一个无限解析式