下面两题怎么用比值审敛法做？

Question

自学怎么也想不明白

Answer 1

设
为正项级数，其中每一项皆为非 0 的实数或复数，ρ=lim un+1/un，如果
当ρ<1时级数收敛，
当ρ>1时级数发散，
当ρ=1时级数可能收敛也可能发散。求解过程如下图所示：

Answer 2

比值不是最好做的吗???
(1)un+1/un=(2n+3)/3^(n+1)*3^n/(2n+1)
=(2n+3)/3(2n+1)
=1/3<1,收敛
(2)un+1/un=(n+2)/(n+1)!*n!/(n+1)
=(n+2)/(n+1)²
=0<1,收敛

Answer 3

Answer 4

解：不能用比值审敛法求解。∵lim(n→∞)丨a(n+1)/an丨=1，不能确定级数的敛散性。
本题可以利用p-级数来判断。过程是，∵原式=∑[1-(2/3)^n+(1/3)^n]/n^2=∑1/n^2-∑[(2/3)^n]/n^2+∑[(1/3)^n]/n^2，
又，∵(2/3)^n<1、(1/3)^n<1，∴∑[(2/3)^n]/n^2<∑1/n^2、∑[(1/3)^n]/n^2<∑1/n^2，
而，∑1/n^2是p=2的p-级数，收敛，∴原式=∑[1-(2/3)^n+(1/3)^n]/n^2<∑1/n^2，收敛。
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