可以用比值审敛法？如果不可以，为何

Question

如题所述

Answer 1

解：不能用比值审敛法求解。∵lim(n→∞)丨a(n+1)/an丨=1，不能确定级数的敛散性。
本题可以利用p-级数来判断。过程是，∵原式=∑[1-(2/3)^n+(1/3)^n]/n^2=∑1/n^2-∑[(2/3)^n]/n^2+∑[(1/3)^n]/n^2，
又，∵(2/3)^n<1、(1/3)^n<1，∴∑[(2/3)^n]/n^2<∑1/n^2、∑[(1/3)^n]/n^2<∑1/n^2，
而，∑1/n^2是p=2的p-级数，收敛，∴原式=∑[1-(2/3)^n+(1/3)^n]/n^2<∑1/n^2，收敛。
供参考。追问

为什麼等於1

追答

过程是，∵a(n+1)/an=[n^2/(n+1)^2]*[(3^n+1)/(3^(n+1)+1]*[(3^(n+1)-2^(n+1)+1)/(3^n-2^n+1)]，
∴lim(n→∞)a(n+1)/an=lim(n→∞)[n^2/(n+1)^2]*lim(n→∞)[(3^n+1)/(3^(n+1)+1]*lim(n→∞)[(3^(n+1)-2^(n+1)+1)/(3^n-2^n+1)]。
而，lim(n→∞)[n^2/(n+1)^2]=1、lim(n→∞)[(3^n+1)/(3^(n+1)+1]=lim(n→∞)(1/3^n+1)/(1/3^n+3)=1/3、lim(n→∞)[(3^(n+1)-2^(n+1)+1)/(3^n-2^n+1)]=lim(n→∞)[(3-2*(2/3)^n+1/3^n]/[(1-(2/3)^n+1/3^n)]=3，∴lim(n→∞)a(n+1)/an=1*(1/3)*3=1。

追问

那什麼时候才能凖确地使用比值？

追答

一般情况是通项an中含有指数、阶乘等表达式时，用起来比较方便。

追问

那这些是不是不用？

是不是可以理解为见到复杂就不用😂

追答

可以用，，只是用了等于白用，因为”解决不了”问题。

可以用。只是要避免用了等于白用，而”解决不了”问题。