高数证明题，求解答

Question

如题所述

Answer 1

解：由题得函数g(x)的定义域为 x>0
对函数g(x)求导，判断函数的增减性,即：
g'(x)=2ax+b+c/x， 若g(x)在定义域内总为增函数则：
g'(x)>0，变形为2ax^2+bx+c>0，
因a<0，所以g'(x)有最大值；
若b^2-8ac<0，g'(x)<0恒成立，
则函数g(x)在定义域内为减函数；
若b^2-8ac>0且c>0，在定义域内g'(x)<0 恒成立，
则函数g(x)在定义域内为减函数；
若b^2-8ac>0且c<0，在0<x<[-b+(b^2-8ac)^(1/2)]/2a时，
g'(x)>0则函数g(x)为增函数；
在[-b+(b^2-8ac)^(1/2)]/2a<x时，g'(x)<0
则函数g(x)为减函数；
因此：当a<0，b为任意值时，
函数g(x)在定义域内不可能总为增函数。
f'(x)=2t(x-1)(x-t)/x<0时，即(x-1)(x-t)>0，x>1时，为减（结合定义域x>0)
（x-1)(x-t)<0时，0<x<1为增。
当x=1时，f(x)取最大值，
即t*x^2+2*t^2lnx-2t(t+1)x+1=t+0-2t(t+1)+1=-2t^2-t+1
最大值<=0
2t^2+t-1>=0
即t>1/2或t<-1，结合t<0
所以t<-1时，不等式t*x^2+2*t^2lnx-2t(t+1)x+1<=0对于x>0恒成立。