sin 18度怎样求??

Question

如题所述

Answer 1

sin(18) = -0.75098724677168 1.sin54°=sin(90°-36°)=cos36° 其中由三倍角公式和二倍角公式有： sin54°=-4(sin18°)^3+3sin18° cos36°=1-2(sin18°)^2 代入sin54°=cos36°移项有方程 4(sin18°)^3-2(sin18°)^2-3sin18°+1=0 分解方程为(sin18°-1)[4(sin18°)^2+2sin18°-1]=0 共有三个解： sin18°=1 sin18°=(-1+√5)/4 sin18°=(-1-√5)/4 验算有sin18°=(-1+√5)/4是唯一解 2.令z=cos72°+isin72°，则z^5=1.即 (z-1)(z^4+z^3+z^2+z+1)=0 因为z≠1，所以 z^4+z^3+z^2+z+1=0 <==> z^2+z+1+1/z+1/z^2=0 令y=z+1/z,则 y^2+y-1=0. 解得:y=(-1±√5)/2 又y=z+1/z=2cos72°>0 所以 cos72°=(-1+√5)/4 故 sin18°=cos72°=(-1±√5)/4. 验算有sin18°=(-1+√5)/4是唯一解 3.0=ctg90°=ctg(54°+36°)=(ctg54°ctg36°-1)/(ctg54°+ctg36°) 即0=ctg54°ctg36°-1 其中由三倍角公式和二倍角公式有： ctg54°=[（ctg18°)^3-3ctg18°]/[3(ctg18°)^2-1] ctg36°=[（ctg18°)^2-1]/2ctg18° 代入0=ctg54°ctg36°-1化简有 （ctg18°)^2=5±√20 又ctg18°=cos18°/sin18°, 即（ctg18°）^2=[1-(sin18°)^2]/(sin18°)^2=[1/(sin18°)^2]-1=5±√20 化简有sin18°=[√6±(√20)]/4=(√5±1)/4 其中验算消去(√5+1)/4项 有sin18°=(√5-1)/4

Answer 2

作一个顶角为36度的等腰三角形，可以发现它就是五角星的一个“角”，它的底边和腰的比刚好是黄金分割比（如果有疑问这个可以下来自己再看下，实在没法在这里证了）。那么作底边上的高，三角形被分成两个锐角度数为18度直角三角形，那么很容易得到sin18＝（根号5－1）/4