如图 三角形ABC是等边三角形 P是角ABC的平分线BD上一点 PE垂直AB于点E 线段BP的垂

Question

如图，△ABC是等边三角形，P是∠ABC的平分线BD上一点，PE⊥AB于点E，线段BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为点Q．若BF=2，则PE的长为（　　）（用勾股定理证）

Answer 1

解法一：

因为：BD是正三角形的角平分线

根据三线合一可以知道：∠PBF=∠PBE=∠ABC/2=30°

所以：BQ=BF*cos30°=2*√3/2=√3

所以：BP=2BQ=2√3

所以：PE=BP/2=2√3/2=√3

所以：PE=√3

解法二（复杂，不建议）：

连接PF，过点P作PG⊥BC于点G

因为：BD是正三角形的角平分线

根据三线合一可以知道：PE=PG

因为：QF是BP的垂直平分线

所以：BF=PF=2

因为：∠PBF=∠PBE=∠ABC/2=30°

所以：∠BPG=60°，∠BPF=∠PBF=30°

所以：∠PFG=60°

所以：PG=PF*sin60°=2*(√3/2)=√3

所以：PE=√3

Answer 2

首先三角形ABC是个正三角形，角A 角B 角C 都是60°，然后BD为角平分线。那么角CBA和角DBC就是30°。所以BP就是EP的二倍。Q是BP的中点（因为垂直平分线），BF=2，所以BQ=根号三。BP=2倍根号三。1;2:根号三。PE=根号三。

Answer 3

BD是角平分线，所以角QBF是30度，所以BQ等于根号3，Q是BP中点，所以BP等于2倍根号3，角EBP是30度，所以PE长为根号3