如图，在等边三角形ABC中，P为BC直线上一点，边P作PE垂直AB于点E，

Question

如图，在等边三角形ABC中，P为BC直线上一点，边P作PE垂直AB于点E，PE垂直于点F，BD是三角形ABC的高。
（！）如图1，当P为线段BC的中点时，求证：PE+PF=BD
（2）如图2，当点不是线段BC的中点时，PE、PF、BD三条线段又有什么数量关系？用不同于（1）的证法证明你的结论；
（3）如图3，当点P在BC直线上时，PE、PF、BD之间有什么数量关系？完成图3，并直接写出结论为：

Answer 1

【PF⊥AC于F】
（1）当P为线段BC的中点时，求证：PE+PF=BD
证明：
∵P为BC的中点，根据三线合一，AP是∠BAC的平分线，
∴PE=PF【平分线上的点到两边的距离相等】
∵PF⊥AC，BD⊥AC
∴PF//BD
∴PC/BC =PF/BD
∴PF =½BD
∴PE+PF=BD
(2)当点不是线段BC的中点时,PE +PF=BD
证明：
作BM⊥PF，交FP的延长线于F
则四边形BMFD是矩形
∴BD=MF
∵BD⊥AC，∴BD是∠ABC的平分线，∠ABC=60º
∴∠DBC=30º
∵∠DBM=90º
∴∠MBP=∠DBM-∠DBC=60º
∴∠EBP=∠MBP
又∵∠BEP=∠BMP=90º，BP=BP
∴⊿BEP≌⊿BMP（AAS）
∴PE=PM
∴BD=MF=PM+PF=PE+PF
（3）当点P在BC直线上时，|PE-PF|=BD
证明：
设P在BC的延长线上，
在BD的延长线上截取DN=PF，连接PN，
∵BD⊥AC，PE⊥AC
∴四边形DFPN是矩形
∴∠N=90º
∵∠NBP=½∠ABC=30º
∠EPB=90º-∠ABC=30º
∴∠NBP=∠EPB
又∵∠BEP=∠N=90º，BP=PB
∴⊿BEP≌⊿PNB（AAS）
∴BN=PE
即PE-PF=BD
若P再CB的延长线上，PF-PE=BD
∴|PE-PF|=BD

Answer 2

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