一道几何数学题

Question

D,E,F分别为三角形abc的三条边上的三等分线
求证 三角形def的面积是三角形ABC的面积的七分之一
不对
应该是求那个小三角形是三角形ABC的七分之一

Answer 1

这个题可用梅涅劳斯定理做比较有力。梅涅劳斯定理：一条直线交三角形的三边（延长线）的分比之积等于1.以图中的△ABD为例，直线FC交△ABD的三边(AD边于延长线)于F, I, C，则 (FA/FB)·(IB/ID)·(CD/CA)=1，由于FA/FB=-1/2, CD/CA=1/3, 代入上式可得IB/ID= -6又，直线AE交△BCD的三边(CD边于延长线)于E, A, H，则（EB/EC）·（AC/AD）·（HD/HB）=1，将EB/EC=-1/2, AC/AD=3/2代入得HD/HB=-4/3.可见H，I分别是线段BD的第3、第6个7等分点，所以H是BI的中点。同理，G是AH的中点，I是CG的中点。由三角形中线平分其面积的性质，三角形ABC被分割成7个相等的小△，所以……。

?t=1310665549698&t=1310666478122

参考资料：http://zhidao.baidu.com/question/289999386.html#here

Answer 2

给你一个同样的题目,只是字母不同.

△ABC，G，F，H为边的三等分点；AG=1/3AB，FC=1/3AC，BH=1/3BC，证GC，FB，HA围成的△是△ABC面积的1/7

设CG与AH交于点X CG与BF交于点Y BF与AH交于点Z
过点G做GE平行于BF
则三角形AGE相似于三角形BAF 三角形CYF相似于CGE
所以AG／AB＝AE／AF
因为AG＝1／3AB
所以AG／AB＝1／3
所以AE／AF＝1／3 即AE＝1／3AF
因为CF＝1／3AC
所以AF＝2／3AC 则AE＝1／3AF＝2／9AC
所以EF＝2／3AC－2／9AC＝4／9AC
因为相似三角形的面积比等于相似比的平方
所以三角形AGE的面积与BAF的比等于AG／AB的平方＝1／9
因为三角形BAF的面积＝2／3S
所以三角形AGE的面积为2／27S
同理三角形CYF的面积与CGE的面积比＝CF／CE的平方
＝9／49
因为三角形CGE的面积＝1／3S－2／27S＝7／27S
则三角形CYF的面积＝1／21S

同理可证出三角形AGX与三角形BZH的面积全为1／21S

三角形ABH， AGC， BCF的面积全为1／3S
这三个三角形的面积相加即等于整个三角形的面积
而其中三角形AGE， CYF BHZ的面积加了两次
等量代换可得 三角形XYZ的面积（即围成的三角形面积）＝三角形AGX，CYF，BHZ的面积之和＝1／7S

参考资料：http://zhidao.baidu.com/question/61932201.html?si=5

本回答被提问者采纳

Answer 3

D,E,F分别为△ABC的三条边上的三等分线，求证△DEF的面积是△ABC的面积的三分之一
证明：用S表△ABC的面积。连接DE，FE，ED，则：
S△ADF=(1/2)AD×AFsinA=(1/2)×(2AC/3)×(AB/3)sinA=(2/9)S
S△BEF=(1/2)BE×BFsinB=(1/2)×(BC/3)×(2AB/3)sinB=(2/9)S
S△CDE=(1/2)CD×CEsinC=(1/2)×(AC/3)×(2BC/3)sinC=(2/9)S
故S△DEF=S-(S△ADF+S△BEF+S△CDE)=S-(6/9)S=(1-2/3)S=(1/3)S
即△DEF的面积是△ABC面积的(1/3).
注：原题说“△DEF的面积是△ABC的面积的七分之一”是错误的！

Answer 4

是中间三条线的交点所构成的三角形？

Answer 5

D,E,F分别为三角形abc的三条边上的三等分线
求证 三角形def的面积是三角形ABC的面积的七分之一
证明：过F,B,E分别作FG,BH,EI垂直于AC交AC于G,H,I
∵AF=1/3AB,BE=1/3BC
∴FG=1/3BH, EI=2/3BH
∴S(⊿AFD)=1/2*1/3BH*2/3AC=2/9*1/2BH*AC=2/9 S(⊿ABC)
S(⊿EDC)=1/2*2/3BH*1/3AC=2/9*1/2BH*AC=2/9 S(⊿ABC)
同理可求S(⊿BEF)=2/9 S(⊿ABC)
∴S(⊿EDF)= S(⊿ABC)-3*2/9 S(⊿ABC)= 1/3 S(⊿ABC)

即三角形def的面积是三角形ABC的面积的三分之一，不是1/7