一道数学几何题

Question

如图，C为线段AE上一动点(不与点A、E重合)，在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BC交于P，BE与CD交于Q，连接PQ求证：△PCQ为等边三角形

Answer 1

证明：

∵△ABC和△CDE都是等边三角形
∴AC=BC
CD=CE
∠ACB=∠DCE=60°
∴∠PCQ=180°-60°-60°=60°
∴∠ACD=∠BCE=120°
∴△ACD≌△BCE（边角边）
∴∠CAP=∠CBQ
∵CA=CB
∵∠ACP=∠BCQ=60°
∴△ACP≌△BCQ（角边角）
∴CP=CQ
∵∠PCQ=60°
∴△PCQ是等边三角形

Answer 2

∠BCE=∠BCD+∠DCE=∠BCD+60
∠ACD=∠BCD+∠ACB=∠BCD+60
所以,∠BCE=∠ACD
AC=BC,∠BCE=∠ACD,DC=CE,
△BCE≌△ACD；(ASA)
∠CBE=∠DAC
在△BCQ和△APC中
∠CBE=∠DAC,BC=AC,∠BCQ=∠ACP=60
△BCQ≌△APC(ASA)
QC=PC
又∠PCQ=60,QC=PC
所以,△PCQ为等边三角形