解:如图,当△DEF是正三角形,且AD=BE=CF,△ABC是正三角形。
证明:
(1)如果AB,BC,AC中有两条边AB=AC
则AF=BD.
∵BE=AD,FD=DE
∴△AFD≌△BDE
∴∠A=∠B.
∵AB=AC
∴∠A=∠B=∠C.
即△ABC为正三角形。
(2)反证法:纯几何证明做辅助线如下图
若∠A≠∠B≠∠C
则这三个角中至少有一个角大于60°,一个角小于60°.
设∠A>60°,∠B<60°,在BA及其延长线上分别取点G,H,使∠DGE=60°,∠AHF=60°.
∵∠ADF+∠FDE+∠EDG=180°,且△DGE的内角和为180°,并注意∠DGE=∠FDE=60°.
∴∠DEG=∠ADF
在△HDF和△GED中,
∠DHF=∠EGD
∠HDF=∠DEG
DF=DE
∴△HDF≌△GED
∴DH=GE
∵∠BGE是钝角
∴BE>GE
即AD=BE大于DH
显然不成立;
所以△ABC必为正三角形。