为什么实对称矩阵特征值就在主对角线上

Question

如题所述

Answer 1

线性代数课本上在对称矩阵的对角化那一节有个定理：设a为n阶对称阵，则必有正交阵p，使p^-1ap=p^tap=^。其中^是以a的n个特征值为对角元的对角阵。所以对陈阵必可以对角化，它的对角矩阵对角线的值就是对称阵的特征值。

Answer 2

做机器学习的过程中，难免会与矩阵打交道，而实对称矩阵更是其中常用的矩阵之一。所以，下面将介绍一下什么是实对称矩阵，并介绍一下它的几个性质（这也是很多笔试题中常考的点）

定义：如果有n阶矩阵A，其矩阵的元素都为实数，且矩阵A的转置等于其本身（aij=aji）(i,j为元素的脚标)，则称A为实对称矩阵。

主要性质：

1.实对称矩阵A的不同特征值对应的特征向量是正交的（网易笔试题曾考过）。

2.实对称矩阵A的特征值都是实数，特征向量都是实向量。

3.n阶实对称矩阵A必可对角化，且相似对角阵上的元素即为矩阵本身特征值。

4.若λ0具有k重特征值　必有k个线性无关的特征向量，或者说必有秩r(λ0E-A)=n-k，其中E为单位矩阵。