求高数定积分证明题

Question

如题所述

Answer 1

证明：f(x)+f(1/x)=∫<1,x>[lnt/(1+t)]dt+∫<1,1/x>[ln(1/t)/(1+1/t)]d(1/t)
(在第二个积分中做1/t代换t)
=∫<1,x>[lnt/(1+t)]dt+∫<1,x>[lnt/(t(1+t))]dt
(对第二个积分化简)
=∫<1,x>[lnt/(1+t)+lnt/(t(1+t))]dt
=∫<1,x>[lnt(1/(1+t)+1/(t(1+t)))]dt
=∫<1,x>(lnt/t)dt (被积函数通分化简)
=∫<1,x>lntd(lnt)
=[ln²t/2]│<1,x>
=(ln²x-ln²1)/2
=ln²x/2
故此命题成立，证毕。