初二的数学几何证明题

Question

在正方形ABCD的对角线BD上，截取BE=BC，P是线段CE上的任意一点，且PF⊥BC，PG⊥BD，垂足分别为F、G。求证：PF+PG=二分之一BD。

Answer 1

连接AC交BD与O
有正方形对角线定义可知
AO=BO=CO=DO
∠AOB=∠BOC=∠DOC=∠AOD=90°
在连接BP
∵PF⊥BC，PG⊥BD
BE=BC
∴S△BEC=1/2(BE×GP)+1/2(BC×PF)=1/2BE×（PG+PF)
∵BO=CO=DO
∠BOC=90°
∴S△BEC=1/2BE×OC=1/2BE×1/2BD
∴PG+PF=1/2BD

Answer 2

△PFC∽△PGE，所以过E做垂线，垂直BC于O点，所以EO=PF+PG，∠DBC＝45度，所以BC：BD=EO：BC，所以2EO＝BD，所以PF+PG=二分之一BD

Answer 3

证法太多了。小朋友。PF+PG=二分之一BD就是BE边上的高。作CH垂直于BE于H,连接BP，三角形BEC的面积=1/2BE*CH=1/2(BE*EP+BC*PF)，BC=BE可以推出PF+PG=CH,CH=二分之一BD