从1到100的自然数中任意取55个数，必定有两个数的差是10和12，但不一定有两个数的差是11，请说明理由。

Question

如题所述

Answer 1

反过来想，我们可以试着从1到100的自然数中抽出55个数，使它们任意两个数的差不能为10，或12，或11
先看10的情况，由于抽出任何一个大于10而小于91的数的同时，就有两个数不能再抽出来，而抽出任何一个小于等于10或大于等于91的数时，只有一个数不能再被抽出来，基于抽出尽量多的数的原则，我们应该先将1-10，91-100，这20个数抽出来
同时决定了11-20，81-90，这20个数不能再被抽出来，否则将不能满足我们任两个数的差不为10的要求
乘下的60个数中，我们应该抽出21-30和71-80这20个数
同时也决定了31-40和61-70这20个数不能再被抽出来
现在我们已经抽出40个数，有40个数被排除，剩下的是41-60，这二十个数
在这20个数中，我们任意抽出一个数，就会有一个数不能再被抽出，所以我们最多再抽出10个符合要求的数来
也就是说，我们最多抽出50个数，使它们任两个数的差不等于10，另外5个数，只能在不符合我们的要求的数中抽了，而一旦抽出任何一个不符合要求的数，就有
从1到100的自然数中，任意取55个数，必定有两个数的差是10的结论成立

再看12的
与10相同，我们可以先抽1-12和89-100这24个数
那么就有13-24和77-88这24个数不能被抽出来
接着我们再抽25-36和65-76这24个数
同样的，会有37-48和53-64这24个数不能再被抽出来
现在我们已经抽了48个数，并有48个数被排除
剩下的是49-52共4个数，就算我们把4个数全抽出来，也不能满足55个的要求，所以我们必然要从被排除的数中再抽出数来，而一旦抽出任何一个不符合我们的要求的数，就会有
从1到100的自然数中，任意取55个数，必定有两个数的差是12的结论成立

最后看11的情况
相同的，我们从1-100中，先抽出1-11和90-100，共22个数
那么就会有12-22和79-89，共22个数不能再被抽出来
我们再从中抽出23-33和68-78，共22个数
那么就会有34-44和57-67，共22个数被排除
现在我们已经得到44个数，且排除了44个数
剩下的是从45-56共12个数
这12个数中，我们只要随便去掉一个数，另外11个将无法找到任何两个数的差是11
现在我们一共正好得到55个数，说明了
从1到100的自然数中任意取55个数，不一定有两个数的差是11

Answer 2

1~10对应11~20,21~30对应31~40,41~50对应51~60,61~70对应71~80,81~90对应91~100差值为10相互对应只有50个，去掉45个数，45<50，必定满足；
1~12对应13~24,25~36对应37~48,49~60对应61~72,73~84对应85~96,97~100差值为12相互对应只有48个，去掉45个数，45<48，必定满足；
1~11对应12~22,23~33对应34~44,45~55对应56~66,67~77对应78~88,89对应100差值为11相互对应只有45个，去掉45个数，45=45，刚好可满足差值一定为11的情况。
论证完毕！