如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=30°，∠ABC=90°，D为AC中点，AE⊥BD于E，延长AE交BC于F，将△ABD沿BD折起，
如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=30°，∠ABC=90°，D为AC中点，AE⊥BD于E，延长AE交BC于F，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，如图2所示．（Ⅰ）求证：AE⊥平面BCD；（Ⅱ）求二面角A-DC-B的余弦值．（Ⅲ）在线段AF上是否存在点M使得EM∥平面ADC？若存在，请指明点M的位置；若不存在，请说明理由．
解答：
（Ⅰ）证明：∵平面ABD⊥平面BCD，交线为BD，
又在△ABD中，AE⊥BD于E，AE?平面ABD
∴AE⊥平面BCD．（3分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）结论AE⊥平面BCD，∴AE⊥EF．
由题意知EF⊥BD，又AE⊥BD．
如图，以E为坐标原点，分别以EF，ED，EA所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系E-xyz，（4分）
不妨设AB=BD=DC=AD=2，则BE=ED=1．
由图1条件计算得，AE＝
，BC＝2
，BF＝
则E(0，0，0)，D(0，1，0)，B(0，?1，0)，A(0，0，
)，F(
，0，0)，C(
，2，0)，
＝(
，1，0)，
＝(0，1，?
)．
∵AE⊥平面BCD，∴平面DCB的法向量为
=（0，0，
）．（6分）
设平面ADC的法向量为
=（x，y，z），
则
，即
（Ⅰ）证明：∵平面ABD⊥平面BCD，交线为BD，又在△ABD中，AE⊥BD于E，AE?平面ABD
∴AE⊥平面BCD．（3分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）结论AE⊥平面BCD，∴AE⊥EF．
由题意知EF⊥BD，又AE⊥BD．
如图，以E为坐标原点，分别以EF，ED，EA所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系E-xyz，（4分）
不妨设AB=BD=DC=AD=2，则BE=ED=1．
由图1条件计算得，AE＝
| 3 |
| 3 |
| ||
| 3 |
则E(0，0，0)，D(0，1，0)，B(0，?1，0)，A(0，0，
| 3 |
| ||
| 3 |
| 3 |
| DC |
| 3 |
| AD |
| 3 |
∵AE⊥平面BCD，∴平面DCB的法向量为
| EA |
| 3 |
设平面ADC的法向量为
| n |
则
|
|