计算曲面积分,如图所示应该是高斯公式吧，不确定前面是封闭的积分。求指点谢谢

Question

如题所述

Answer 1

解：这道题有两种解法，第一种必须把奇点（0,0,0）挖掉：
解法一：
∫∫∫[(1+1+1)/√s] dxdydz=(3/√s)* 4/3*π(√s)^3= 4πs
=原积分+∫∫（Sε-）[(zdxdy+xdzdy+zdxdy)/√(x^2+y^2+z^2)]（其中Sε-是方向指向原点半径为ε的曲面）
=原积分- ∫∫（Sε）[(zdxdy+xdzdy+zdxdy)/√(x^2+y^2+z^2)]（Sε方向指向远离原点。）
=原积分- ∫∫∫[(1+1+1)/ε] dxdydz
=原积分 -4πε （注意此时曲面Sε包围的是球体x^2+y^2+z^2≤ε^2以外的无穷大的范围）
=原积分
所以：原积分=4πs

解法二：
注意到√(x^2+y^2+z^2)=√s，我们可以先把√(x^2+y^2+z^2)的值代进二重积分里面去：
原积分=∫∫（S）[(zdxdy+xdzdy+zdxdy)/√s]=(1/√s)* ∫∫（S）[(zdxdy+xdzdy+zdxdy]
注意到此时积分不再有（0,0,0）之类的奇异点了，所以直接使用高斯公式：
原积分=(1/√s)* ∫∫∫3*dxdydz
=(1/√s)* 3*(4/3)π(√s)^3
=4πs

【注】显然解法二比解法一巧妙。