在平面直角坐标系上，设不等式组 （ ）所表示的平面区域为 ，记 内的整点（即横坐标和纵坐标均为整数
在平面直角坐标系上，设不等式组 （ ）所表示的平面区域为 ，记 内的整点（即横坐标和纵坐标均为整数的点）的个数为 .（Ⅰ）求 并猜想 的表达式再用数学归纳法加以证明；（Ⅱ）设数列 的前 项和为 ，数列 的前 项和 ,是否存在自然数m？使得对一切 ， 恒成立。若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由。
（Ⅰ） ， ， ， ＝3n，（Ⅱ）满足题设的自然数m存在，其值为0 |
（Ⅰ）当n＝1时，D 1 为Rt△OAB 1 的内部包括斜边，这时  ，当n＝2时，D 2 为Rt△OAB 2 的内部包括斜边，这时 ，当n＝3时，D 3 为Rt△OAB 3 的内部包括斜边，这时 ，……， ---3分 由此可猜想 ＝3n。 --------------------------------------------------4分下面用数学归纳法证明: (1)当n＝1时，猜想显然成立。 (2)假设当n＝k时，猜想成立，即  ，（ ） ----5分如图，平面区域  为Rt 内部包括斜边、平面区域 为Rt△  内部包括斜边，∵平面区域 比平面区域 多3个整点， ------- 7分 即当n＝k+1时，  ，这就是说当n＝k+1时，猜想也成立， 由（1）、（2）知 ＝3n对一切 都成立。 ---------------------8分（Ⅱ）∵ ＝3n, ∴数列 是首项为3，公差为3的等差数列,∴  .  -------------------------10分  =  = -------------------------------11分∵对一切 ， 5 恒成立, ∴
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