高等代数：设x1,x2,x3是方程x^3-2x^2+5x+2=0的三个根,试计算（x1）^4+（x2）^4+（x3）^4的值

Question

如题所述

Answer 1

可以给你提供一个好的方法：
形如 x^3+px+q=0的一元三次方程的求根公式的形式应该为x=A^(1/3)+B^(1/3)型，即为两个开立方之和。归纳出了一元三次方程求根公式的形式，下一步的工作就是求出开立方里面的内容，也就是用p和q表示A和B。方法如下：
（1）将x=A^(1/3)+B^(1/3)两边同时立方可以得到
（2）x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)(A^(1/3)+B^(1/3))
（3）由于x=A^(1/3)+B^(1/3)，所以（2）可化为
x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)x，移项可得
（4）x^3－3(AB)^(1/3)x－(A+B)＝0，和一元三次方程和特殊型x^3+px+q=0作比较，可知
（5）－3(AB）^（1/3）＝p,－(A+B)=q，化简得
（6）A+B＝－q，AB＝-（p/3）^3
（7）这样其实就将一元三次方程的求根公式化为了一元二次方程的求根公式问题，因为A和B可以看作是一元二次方程的两个根，而(6)则是关于形如ay^2+by+c=0的一元二次方程两个根的韦达定理，即
（8）y1＋y2＝－（b/a）,y1*y2=c/a
(9)对比（6）和（8），可令A＝y1，B＝y2，q＝b/a，-（p/3）^3＝c/a
(10)由于型为ay^2+by+c=0的一元二次方程求根公式为
y1＝－（b＋（b^2－4ac）^(1/2)）/(2a)
y2＝－（b－（b^2－4ac）^(1/2)）/(2a)
可化为
(11)y1＝－(b/2a)-((b/2a)^2-(c/a))^(1/2)
y2＝－(b/2a)+((b/2a)^2-(c/a))^(1/2)
将(9)中的A＝y1，B＝y2，q＝b/a，-（p/3）^3＝c/a代入（11）可得
(12)A＝－(q/2)-((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)
B＝－(q/2)+((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)
(13)将A，B代入x=A^(1/3)+B^(1/3)得
(14)x=（－(q/2)-((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)）^(1/3)+（－(q/2)+((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)）^(1/3)
式 (14)只是一元三方程的一个实根解，按韦达定理一元三次方程应该有三个根，不过按韦达定理一元三次方程只要求出了其中一个根，另两个根就容易求出了。
希望对你有用。

Answer 2

注意到x1+x2+x3=2
x1x2+x2x3+x3x1=5
x1x2x3=-2
(x1)^4+(x2)^4+(x3)^4用对称多项式展开即可求解。本回答被提问者采纳

Answer 3

x1= (67^(1/2)/3 - 64/27)^(1/3) - 11/(9*(67^(1/2)/3 - 64/27)^(1/3)) + 2/3;
x2=11/(18*(67^(1/2)/3 - 64/27)^(1/3)) - (67^(1/2)/3 - 64/27)^(1/3)/2 + 2/3 + (3^(1/2)*(11/(9*(67^(1/2)/3 - 64/27)^(1/3)) + (67^(1/2)/3 - 64/27)^(1/3))*i)/2;
x3=11/(18*(67^(1/2)/3 - 64/27)^(1/3)) - (67^(1/2)/3 - 64/27)^(1/3)/2 + 2/3 - (3^(1/2)*(11/(9*(67^(1/2)/3 - 64/27)^(1/3)) + (67^(1/2)/3 - 64/27)^(1/3))*i)/2;
四次及四次以下的方程求解有公式，其他没有公式