考研无穷级数敛散性判断问题

Question

如题所述

Answer 1

首先, 不难由D'Alembert比值判别法证明:
幂级数∑(x-a)^n/ln(n+2)在(a-1,a+1)上绝对收敛, 在x < a-1或x > a+1处发散.
对于端点, 在x = a+1处, 级数∑1/ln(n+2)发散(比较判别法).
在x = a-1处, 级数∑(-1)^n/ln(n+2)是通项绝对值单调递减趋于0的交错级数, 故收敛(Leibniz判别法),
但取绝对值后是发散级数∑1/ln(n+2), 故原级数为条件收敛.
综上, 级数只在x = a-1处条件收敛, 因此a-1 = -2, 即a = -1.

对于级数∑(x-a)^n/(n+2)², 可由D'Alembert比值判别法证明其在x > a+1 = 0处是发散的.
所以选C.

注: 其实对本题可以不用讨论得像上面那么详细.
容易知道两个幂级数的收敛半径都是1, 因此收敛区间的长度为2.
而x = -2在前者的收敛区间内, 所以x = 1/2不在前者的收敛区间内, 且不在边界上.
于是x = 1/2也不在后者的收敛区间内(二者的收敛区间至多只有边界不同).