关于高等数学中二重积分极坐标变换后的上下限问题

Question

问题写在图片里了，脑子笨，没看懂答案，麻烦各位帮忙解答一下啦，先谢谢了

Answer 1

解：

变换积分顺序，先对θ积分，再对r积分
可我们发现，对θ积分，从左往右画条直线时，与积分区域左边的交点，即积分上限不能用一个式子表达，所以要分块

如图，分为上半部阴影部分D2，和下半部分D1

先积分的，用表达式，后积分的，直接上下限表示

从图中可见，对D1积分时，红线与图形左交点为-Π/4，右交点与曲线r=2acosθ相交，且此时θ∈（0，Π/2）,所以θ=arccos（r/2a）(2a≥r>=0,a>0,所以arccos（r/2a）∈[0，Π/2]，r的积分下限0，积分上限√2a

D2，红线均是与曲线r=2acosθ相交，但左边的交点，θ∈[-Π/4,0],右边θ∈[0，Π/2],所以左边为负号，右边为正号，即 －arccos（r/2a）≤θ≤arccos（r/2a），r的积分下限为√2a，积分上限为2a

由此，可写出变换积分顺序后的积分表达式

 

希望可以帮到你。。如有哪里我说得不清楚，欢迎追问。

追问

arccos（r/2a）一定是≥0的吗？r∈[0，2a]，arccos（r/2a）不也可能∈[-Π/2，0]吗？

追答

arc cos(x)∈[0,pi],x∈[-1,1]
（cos（x）在[0,pi]上是单调函数，在[-pi/2,pi/2]上不是单调函数）
可以参考一下这里：http://baike.baidu.com/view/2044162.htm