楼主的问题很有代表性，但是要全面、细致、正确地回答楼主的问题，
是一篇厚厚的论文，至少也得编写出数以百计的精美课件。
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下面的解答，只能给出大致的规律：
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1、先写出积分区域的极坐标方程，并草绘(graph-sketching)出积分区域。
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2、通常的积分方法，都是先对径向积分，再对角度积分，难度会减小很多。
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3、一些积分的被积函数看似极坐标方便，采用直角坐标，也能得心应手，
请参看第一张图片示例。
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4、一些积分的被积函数明显极坐标方便，就不必迂回曲折，直接了当使用
极坐标，请参看第二张、第四张、第五张、第六张图片示例。
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5、一些积分被积函数，似乎与极坐标无关，好像只能运用直角坐标系积分，
结果却是运用极坐标积分快捷，请参看第三张图片示例。
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6、一些积分被积函数显得积分似乎困难重重，但是利用了对称性、奇偶性
之后，却峰回路转，请参看第七张、第八张图片示例。
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其他情况不一而足，举不胜举，在此只能挂一漏万。
若有疑问，欢迎追问，欢迎讨论，有问必答，有疑必释。
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每张图片，均可点击放大，图片会非常清晰。
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要确定二重积分的积分限，首先要绘制出封闭的积分区域。概况各类情况，无外乎是直角坐标系下和极坐标系下的区域问题。
二重积分是二元函数在空间上的积分，同定积分类似，是某种特定形式的和的极限。本质是求曲顶柱体体积。重积分有着广泛的应用，可以用来计算曲面的面积，平面薄片重心等。平面区域的二重积分可以推广为在高维空间中的（有向）曲面上进行积分，称为曲面积分。
1、直角坐标系下：
①Y型积分区域：
②X型积分区域：
③积分区域具体表示如下：
2、极坐标下的二重积分问题：
扩展资料：
当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积。当被积函数小于零时，二重积分是柱体体积负值。
在空间直角坐标系中，二重积分是各部分区域上柱体体积的代数和，在xoy平面上方的取正，在xoy平面下方的取负。某些特殊的被积函数f（x，y）的所表示的曲面和D底面所为围的曲顶柱体的体积公式已知，可以用二重积分的几何意义的来计算。
例如：二重积分
其中
表示的是以上半球面为顶，半径为a的圆为底面的一个曲顶柱体，这个二重积分即为半球体的体积
角度上下限的判断：若是曲线与直线所构成的积分区域，上限则是曲线与直线相交的交点与原点的连线的角度 下限以情况而定。若是直线与直线则角度为倾斜角。
极径上下限的判断：从原点引一条射线（射线角度在积分区域范围内）若在积分区域内交与两条曲线，则离原点较远（后交的曲线）的曲线则为上限，反之较远的为下限，若在积分区域内只交到一条曲线，则此条曲线为上限，下限为0，若在积分区域内没有相交的曲线，则上限为积分区域在x轴上的边界，下限为零。
扩展资料
1、二重积分是否有意义，要看被积函数的量纲，由量纲决定是否有物理意义。
2、数学老师出题，一般不会考虑什么物理模型、量纲，一般均无明确意义。
3、被积函数如果是1，而且1不带任何单位，那二重积分就是算总面积。
4、只要被积函数不是1，二重积分没有明确意义。