若p^n中任意一个非零向量都是数域p上n阶矩阵a的特征向量，则a必为数量矩阵。如何证明？

Question

如题所述

Answer 1

首先, 因为属于不同特征值的特征向量的和不是特征向量
所以A的特征值为k,k,...,k (即k是A的n重特征值)

再由n维基本向量组ε1,ε2,...,εn是特征向量
所以 (ε1,ε2,...,εn)^-1A(ε1,ε2,...,εn) = diag(k,...,k)
即有 A = kE 是数量矩阵.追问

老师你好 (ε1,ε2,...,εn)^-1A(ε1,ε2,...,εn) = diag(k,...,k) 这个式子是什么意思啊？

追答

(ε1,ε2,...,εn) 是由ε1,ε2,...,εn构成的矩阵, 即单位矩阵E
diag(k,...,k) 是主对角线上是k的对角矩阵