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设A，P为n阶矩阵，P可逆，且AP=PA，证明：（1）若α是A的特征向量，则Pα也是A的特征向量；（2）若A有n个不同的特征值，α是A的特征向量，则α也是P的特征向量．

推荐答案 2014-09-04

证：（1）因为A，P为n阶矩阵，P可逆，且AP=PA
设Aα=λα，
则A（Pα）=P（Aα）=P（λα）=λ（Pα），
故Pα也是A的特征向量．
（2）由A有n个不同的特征值知，
A的每个特征值只对应一个线性无关的特征向量，
又α，Pα是对应同一个特征值的特征向量，
故它们线性相关，
故存在常数c，
使得Pα=cα，
故α也是P的特征向量．
所以得证．

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