怎样证如果任意n维非零向量都是a的特征向量，则a为数量矩阵

如题所述

推荐答案 2020-12-10

设v是n阶矩阵A的特征值
由题意矩阵特征值对应的线性无关特征向量的个数和是n
说明：1)矩阵可对角化
2)A满秩
由于特征向量空间的维数和是n
那么其中一最大线性无关组是e1..en；e1..en是单位矩阵的列向量
变换矩阵为[e1..en]=I
I^-1*A*I=B
A=B=[v1
********..
**********vn]
另取特征向量x=[1...1]T
Ax=kx k是其中一个特征值
[v1..vn]T=[k...k]T
=>v1=..=vn=k
所以
A=[k
*****.. *号是为了显示矩阵的格式，可以忽略
********k]
所以A是数量矩阵

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其他回答

第1个回答 2016-01-08

（1）取特征向量为e1，…，en，可得A一定是对角阵（其中ei是第i个分量为1其余分量为0的列向量）；
（2）取特征向量为（1，1，…，1）^T，可得A为数量矩阵本回答被提问者采纳

相似回答

怎样证如果任意n维非零向量都是a的特征向量,则a为数量矩阵答：数量矩阵a即主对角线上元素相同,其余元素为0的方阵即 ke.对任意非零n维向量x,ax = kex = kx 所以 x 是a的属于特征值k的特征向量.

如果任一个n维非零向量都是n阶矩阵A的特征向量,则A是一个数量矩阵答：证明: 因为任一个n维非零向量都是n阶矩阵A的特征向量,所以n维基本向量组ε1,ε2,...,εn也是A的特征向量.设 Aεi = kiεi, i=1,2,...,n 则 A(ε1,ε2,...,εn)= (Aε1,Aε2,...,Aεn)= (k1ε1,k2ε2,...,knεn)= (ε1,ε2,...,εn) diag(k1,k2,......

什么是数量矩阵答：数量矩阵，指的是设I是单位矩阵, k是任何数,则k*I称为数量矩阵。换句话说,数量矩阵就是对角线上元素都是同一个数值，其余元素都是零。数量矩阵有且只有一个n重特征值。性质：若任一n维非零向量都是n阶矩阵A的特征向量，则A是数量矩阵。又叫纯量矩阵。也是一种对角矩阵，它的对角线上的值相同。

什么叫数量矩阵?答：在经济应用数学课本上没有明确其余元素都是零!性质：若任一n维非零向量都是n阶矩阵A的特征向量,则A是数量矩阵 又叫纯量矩阵.也是一种对角矩阵,它的对角线上的值相同.同时,这也是一个上三角矩阵、下三角矩阵和阶梯矩阵.数量矩阵必能相似对角化数量矩阵有且只有一个n重特征值.

什么叫数量矩阵 数量矩阵是什么意思答：1. 设e为单位矩阵，K为任意实数，则Ke为量矩阵。换句话说，数量矩阵意味着对角线元素的值相同，其他元素为零。2. 如果任意n维非零向量是n阶矩阵A的特征向量，那么A是一个量矩阵，也称为标量矩阵，也是一个对角矩阵。它们的对角线值是一样的。同时，它也是一个上三角矩阵、下三角矩阵和梯形矩阵。

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