中值定理
中值定理是反映函数与导数之间联系的重要定理，也是微积分学的理论基础，在许多方面它都有重要的作用，在进行一些公式推导与定理证明中都有很多应用。
简介
函数与其导数是两个不同的的函数；而导数只是反映函数在一点的局部特征；如果要了解函数在其定义域上的整体性态，就需要在导数及函数间建立起联系，微分中值定理就是这种作用。微分中值定理，包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理。是沟通导数值与函数值之间的桥梁，是利用导数的局部性质推断函数的整体性质的工具。以罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一组中值定理是一整个微分学的理论基础。拉格朗日中值定理，建立了函数值与导数值之间的定量联系，因而可用中值定理通过导数去研究函数的性态；中值定理的主要作用在于理论分析和证明；同时由柯西中值定理还可导出一个求极限的洛必达法则。中值定理的应用主要是以中值定理为基础，应用导数判断函数上升，下降，取极值，凹形，凸形和拐点等项的重要性态。从而能把握住函数图象的各种几何特征。在极值问题上也有重要的实际应用。
微积分学基本定理指出，求不定积分与求导函数互为逆运算[把上下限代入不定积分即得到积分值，而微分则是导数值与自变量增量的乘积]，这也是两种理论被统一成微积分学的原因。我们可以以两者中任意一者为起点来讨论微积分学，但是在教学中，微分学一般会先被引入。
类别
拉格朗日中值定理
中值定理是微积分学中的基本定理，由四部分组成。
内容是说一段连续光滑曲线中必然有一点，它的斜率与整段曲线平均斜率相同（严格的数学表达参见下文）。中值定理又称为微分学基本定理，拉格朗日定理，拉格朗日中值定理，以及有限改变量定理等。
内容
如果函数f(x）满足
在闭区间[a,b]上连续；
在开区间(a,b）内可导，
那么在（a,b）内至少有一点ξ（a<ξ<b），使等式
f(b)-f(a)=f′（ξ）（b-a)
成立。
罗尔定理
内容
如果函数f(x）满足
在闭区间[a,b]上连续；
在开区间（a,b）内可导；
在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b），
那么在（a,b）内至少有一点ξ（a<；ξ<b），使得f`(ξ)=0;
补充
如果函数f(x）满足：
在闭区间[a,b]上连续；
在开区间（a,b）内可导；
在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b），
那么在（a,b）内至少有一点ξ（a<ξ<b），使得 f'（ξ）=0.
几何上，罗尔定理的条件表示，曲线弧 （方程为）是一条连续的曲线弧
，除端点外处处有不垂直于 轴的切线，且两端点的纵坐标相等。而定理结论表明，
弧上至少有一点 ，曲线在该点切线是水平的.：
柯西
如果函数f(x）及F(x）满足
⑴在闭区间[a,b]上连续；
⑵在开区间（a,b）内可导；
中值定理
⑶对任一x(a,b），F'(x)!=0
那么在（a,b) 内至少有一点ξ，使等式[f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]=f'（ξ）/F'（ξ）成立。
也叫Cauchy中值定理。
设函数f(x),g(x）在[a,b]上连续，在（a、b）内可导，且g'(x）≠0(x∈（a,b）），则至少存在一点，ξ∈（a,b），使得 f'（ξ）/g'（ξ）=[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]成立。
若令u=f(x),v=g(x），这个形式可理解为参数方程，而[f(a)-f(b)]/[g(a)-g(b)]则是连接参数曲线的端点斜率，f'（ξ）/g'（ξ）表示曲线上某点处的切线斜率，在定理的条件下，可理解如下：用参数方程表示的曲线上至少有一点，它的切线平行于两端点所在的弦，这一点Lagrange也具有，但是Cauchy中值定理除了适用y=f(x）表示的曲线，还适用于参数方程表示的曲线。
当柯西中值定理中的g(x)=x时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。
令F(x)=f(x)-[f(a)-f(b)]g(x)/[g(a)-g(b)]
∵F(a)=F(b)=[f(a)g(b)-f(b)g(a)]/[g(b)-g(a)]
由罗尔定理知，存在ξ∈（a,b），使得F'（ξ）=0.
又知F'(x)=f'(x)-[f(a)-f(b)]g'(x)/[g(a)-g(b)]
∴f'（ξ）-[f(a)-f(b)]g'（ξ）/[g(a)-g(b)]=0
即f'（ξ）/g'（ξ）=[f(a)-f(b)]/[g(a)-g(b)]
命题得证。
中值定理是反映函数与导数之间联系的重要定理，也是微积分学的理论基础，在许多方面它都有重要的作用，在进行一些公式推导与定理证明中都有很多应用。
简介
函数与其导数是两个不同的的函数；而导数只是反映函数在一点的局部特征；如果要了解函数在其定义域上的整体性态，就需要在导数及函数间建立起联系，微分中值定理就是这种作用。微分中值定理，包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理。是沟通导数值与函数值之间的桥梁，是利用导数的局部性质推断函数的整体性质的工具。以罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一组中值定理是一整个微分学的理论基础。拉格朗日中值定理，建立了函数值与导数值之间的定量联系，因而可用中值定理通过导数去研究函数的性态；中值定理的主要作用在于理论分析和证明；同时由柯西中值定理还可导出一个求极限的洛必达法则。中值定理的应用主要是以中值定理为基础，应用导数判断函数上升，下降，取极值，凹形，凸形和拐点等项的重要性态。从而能把握住函数图象的各种几何特征。在极值问题上也有重要的实际应用。
微积分学基本定理指出，求不定积分与求导函数互为逆运算[把上下限代入不定积分即得到积分值，而微分则是导数值与自变量增量的乘积]，这也是两种理论被统一成微积分学的原因。我们可以以两者中任意一者为起点来讨论微积分学，但是在教学中，微分学一般会先被引入。
类别
拉格朗日中值定理
中值定理是微积分学中的基本定理，由四部分组成。
内容是说一段连续光滑曲线中必然有一点，它的斜率与整段曲线平均斜率相同（严格的数学表达参见下文）。中值定理又称为微分学基本定理，拉格朗日定理，拉格朗日中值定理，以及有限改变量定理等。
内容
如果函数f(x）满足
在闭区间[a,b]上连续；
在开区间(a,b）内可导，
那么在（a,b）内至少有一点ξ（a<ξ<b），使等式
f(b)-f(a)=f′（ξ）（b-a)
成立。
罗尔定理
内容
如果函数f(x）满足
在闭区间[a,b]上连续；
在开区间（a,b）内可导；
在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b），
那么在（a,b）内至少有一点ξ（a<；ξ<b），使得f`(ξ)=0;
补充
如果函数f(x）满足：
在闭区间[a,b]上连续；
在开区间（a,b）内可导；
在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b），
那么在（a,b）内至少有一点ξ（a<ξ<b），使得 f'（ξ）=0.
几何上，罗尔定理的条件表示，曲线弧 （方程为）是一条连续的曲线弧
，除端点外处处有不垂直于 轴的切线，且两端点的纵坐标相等。而定理结论表明，
弧上至少有一点 ，曲线在该点切线是水平的.：
柯西
如果函数f(x）及F(x）满足
⑴在闭区间[a,b]上连续；
⑵在开区间（a,b）内可导；
中值定理
⑶对任一x(a,b），F'(x)!=0
那么在（a,b) 内至少有一点ξ，使等式[f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]=f'（ξ）/F'（ξ）成立。
也叫Cauchy中值定理。
设函数f(x),g(x）在[a,b]上连续，在（a、b）内可导，且g'(x）≠0(x∈（a,b）），则至少存在一点，ξ∈（a,b），使得 f'（ξ）/g'（ξ）=[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]成立。
若令u=f(x),v=g(x），这个形式可理解为参数方程，而[f(a)-f(b)]/[g(a)-g(b)]则是连接参数曲线的端点斜率，f'（ξ）/g'（ξ）表示曲线上某点处的切线斜率，在定理的条件下，可理解如下：用参数方程表示的曲线上至少有一点，它的切线平行于两端点所在的弦，这一点Lagrange也具有，但是Cauchy中值定理除了适用y=f(x）表示的曲线，还适用于参数方程表示的曲线。
当柯西中值定理中的g(x)=x时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。
令F(x)=f(x)-[f(a)-f(b)]g(x)/[g(a)-g(b)]
∵F(a)=F(b)=[f(a)g(b)-f(b)g(a)]/[g(b)-g(a)]
由罗尔定理知，存在ξ∈（a,b），使得F'（ξ）=0.
又知F'(x)=f'(x)-[f(a)-f(b)]g'(x)/[g(a)-g(b)]
∴f'（ξ）-[f(a)-f(b)]g'（ξ）/[g(a)-g(b)]=0
即f'（ξ）/g'（ξ）=[f(a)-f(b)]/[g(a)-g(b)]
命题得证。
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第1个回答 2015-03-16
根据拉格朗日中值定理，
存在η1∈(0，ξ)，使得，
f '(η1)=f(ξ)/ξ=(1-ξ)/ξ
存在η2∈(ξ，1)，使得，
f '(η2)=[f(1)-f(ξ)]/(1-ξ)=ξ/(1-ξ)
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存在η1∈(0，ξ)，使得，
f '(η1)=f(ξ)/ξ=(1-ξ)/ξ
存在η2∈(ξ，1)，使得，
f '(η2)=[f(1)-f(ξ)]/(1-ξ)=ξ/(1-ξ)
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第2个回答 2015-03-16
怎么样～
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