设A,B均为n阶矩阵,若AB=0,那么rA+rB等于多少?

如题所述

B=0

则B的列向量都是齐次线性方程组 AX=0 的解

所以B的列向量可由AX=0 的基础解系线性表示

AX=0 的基础解系含 n-r(A) 个向量 (这是定理)

所以 r(B) <= n-r(A)

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秩性质

我们假定 A是在域 F上的 m× n矩阵并描述了上述线性映射

只有零矩阵有秩 0 A的秩最大为 min(m,n) f是单射,当且仅当 A有秩 n(在这种情况下,我们称 A有“满列秩”)。

f是满射,当且仅当 A有秩 m(在这种情况下,我们称 A有“满行秩”)。

在方块矩阵A(就是 m= n) 的情况下,则 A是可逆的,当且仅当 A有秩 n(也就是 A有满秩)。如果 B是任何 n× k矩阵,则 AB的秩最大为 A的秩和 B的秩的小者。

即:秩(AB)≤min(秩(A),秩(B)) 推广到若干个矩阵的情况。

就是:秩(A1A2...Am)≤min(秩(A1),秩(A2),...秩(Am)) 证明:考虑矩阵的秩的线性映射的定义,令A、B对应的线性映射分别为 f和 g,则秩(AB)表示复合映射 f·g,它的象 Im f·g是 g的像 Im g在映射 f作用下的象。

然而 Im g是整个空间的一部分,因此它在映射 f作用下的象也是整个空间在映射 f作用下的象的一部分。也就是说映射 Im f·g是Im f的一部分。

对矩阵就是:秩(AB)≤秩(A)。对于另一个不等式:秩(AB)≤秩(B),考虑 Im g的一组基:(e1,e2,...,en),容易证明(f(e1),f(e2),...,f(en))生成了空间 Im f·g,于是 Im f·g的维度小于等于Im g的维度。

对矩阵就是:秩(AB)≤秩(B)。因此有:秩(AB)≤min(秩(A),秩(B))。若干个矩阵的情况证明类似。

作为 "<" 情况的一个例子,考虑积 两个因子都有秩 1,而这个积有秩 0。可以看出,等号成立当且仅当其中一个矩阵(比如说 A)对应的线性映射不减少空间的维度,即是单射,这时 A是满秩的。

于是有以下性质:如果 B是秩 n的 n× k矩阵,则 AB有同 A一样的秩。如果 C是秩 m的 l× m矩阵,则 CA有同 A一样的秩。A的秩等于 r,当且仅当存在一个可逆 m× m矩阵 X和一个可逆的 n× n矩阵 Y使得 这里的 Ir指示 r× r单位矩阵。证明可以通过高斯消去法构造性地给出。

矩阵的秩加上矩阵的零化度等于矩阵的纵列数(这就是秩-零化度定理)。

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第1个回答  2019-06-09

AB=0

则B的列向量都是齐次线性方程组 AX=0 的解

所以B的列向量可由AX=0 的基础解系线性表示

AX=0 的基础解系含 n-r(A) 个向量 (这是定理)

所以 r(B) <= n-r(A).

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n阶矩阵和n阶方阵是一个意思。阶数只代表正方形矩阵的大小,并没有太多的意义。说一个矩阵为n阶矩阵,即默认该矩阵为一个n行n列的正方阵。

矩阵是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合,最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。

求矩阵的全部特征值和特征向量的方法如下:

第一步:计算的特征多项式;

第二步:求出特征方程的全部根,即为的全部特征值;

第三步:对于的每一个特征值,求出齐次线性方程组。

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第2个回答  推荐于2019-10-20
AB=0
则B的列向量都是齐次线性方程组 AX=0 的解
所以B的列向量可由AX=0 的基础解系线性表示
AX=0 的基础解系含 n-r(A) 个向量 (这是定理)

所以 r(B) <= n-r(A).本回答被网友采纳