设AB均为N阶方阵,且B=B2（就是B的平方）,A=E+B,证明A可逆,并求其逆

Question

设AB均为N阶方阵,且B=B2（就是B的平方）,A=E+B,证明A可逆,并求其逆矩阵。。

Answer 1

解:由B=B^2可得：

B^2-B=0，即：B(B-E)=0;
可得：B=0或B=E；

当B=0时，A=E,显然A可逆，且A的逆也是E；

当B=E时，A=2E，A也可逆，其逆矩阵为0.5E；

Answer 2

ab-b=a,
(a-e)b-e=a-e,
(a-e)(b-e)=e,所以a-e可逆
逆矩阵为b-e
由1知
（a-e)和b-e
互逆
所以（b-e)(a-e)=e
与(a-e)(b-e)=e,展开比较就可以得到ab=ba
希望你满意