三维柯西不等式怎么写

Question

如题所述

Answer 1

三维的是： (a1*a2+b1*b2+c1*c2)^2 <= (a1^2+b1^2+c1^2)(a2^2+b2^2+c2^2）柯西不等式可以用向量来证明
柯西不等式的一般证法有以下几种：■①Cauchy不等式的形式化写法就是：记两列数分别是ai, bi，则有 (∑ai^2) * (∑bi^2) ≥ (∑ai * bi)^2. 我们令 f(x) = ∑(ai + x * bi)^2 = (∑bi^2) * x^2 + 2 * (∑ai * bi) * x + (∑ai^2) 则我们知道恒有 f(x) ≥ 0. 用二次函数无实根或只有一个实根的条件，就有 Δ = 4 * (∑ai * bi)^2 - 4 * (∑ai^2) * (∑bi^2) ≤ 0. 于是移项得到结论。 ■②用向量来证. m=(a1,a2....an) n=(b1,b2....bn) mn=a1b1+a2b2+....+anbn=(a1^+a2^+....+an^)^1/2乘以(b1^+b2^+....+bn^)^1/2乘以cosX． 因为cosX小于等于0，所以：a1b1+a2b2+....+anbn小于等于a1^+a2^+....+an^)^1/2乘以(b1^+b2^+....+bn^)^1/2 这就证明了不等式．柯西不等式还有很多种，这里只取两种较常用的证法．追问

什么情况下取等号

这段是复制粘贴的吧

追答

当且仅当β＝0向量

追问

哪里有β。。。

追答

(x1²+x2²+x3²+...+xn²)(y1²+y2²+y3²+...+yn²)≥(x1y1+x2y2+x3y3+...+xnyn)²
当x1/y1=x2/y2=x3/y3=...=xn/yn时取等号

追问

明白了

追答

不用谢

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Answer 2

(a1*a2+b1*b2+c1*c2)^2 <= (a1^2+b1^2+c1^2)(a2^2+b2^2+c2^2）
柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。但从历史的角度讲，该不等式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz不等式【柯西-布尼亚科夫斯基-施瓦茨不等式】，因为，正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。 柯西不等式在高中数学提升中非常重要，是高中数学研究内容之一。