微分方程的所有解和通解有什么区别

Question

如题所述

Answer 1

通解的定义是：对于n阶微分方程，它的含有n个独立常数的解。
事实上，这个定义并没有说通解是所有解。并且就实际结果而言，通解并不一定等于全部解。简单举例，分母为0求得的特解，就不一定在通解里。
例：y*y+x*x*dy/dx=x*y*dy/dx ，通解为 ln(Cy) = y/x。而明显可以找到一个特解 y = 0 是不包含在通解里的。（解题过程直接搜索能查到）
个人以为，通解是用一个式子表示了一个全部解的子集。并且规定了常数的数量，这意味着要求这个子集尽可能大。所以一个通解的子集（如一些常数确定或设某些常数为0）不能被视为通解。

Answer 2

通解里面有些不定参数，通过给不定参数不同的值，你可以得到所有解
也就是说，通解是表达所有解的一些公式