f（x）是可导函数求证f（x）是奇函数时f（x）'是偶函数。 求证f（x）是偶函数时f（x）'是

Question

f（x）是可导函数求证f（x）是奇函数时f（x）'是偶函数。 求证f（x）是偶函数时f（x）'是奇函数

Answer 1

证明1由f（x）是奇函数

则f（-x)=-f(x)
两边关于x求导得
（-x）'f'(-x)=-f'(x)
即-f'(-x)=-f'(x)
即f'(-x)=f'(x)
由f（x）的导函数为f'(x)
而f'(x)满足f'(-x)=f'(x)
故f'(x)是偶函数
2同理
由f（x）是偶函数

则f（-x)=f(x)
两边关于x求导得
（-x）'f'(-x)=f'(x)
即-f'(-x)=f'(x)
即f'(-x)=-f'(x)
由f（x）的导函数为f'(x)
而f'(x)满足f'(-x)=-f'(x)
故f'(x)是奇函数

Answer 2

正确答案：任取x∈(－ll)则有fˊ(－x)＝－[f(－x)]ˊ若f(x)为偶函数则f(－x)＝f(x)故
fˊ(－x)＝－[f(－x)]ˊ＝－fˊ(x)即fˊ(x)为奇函数；
若f(x)为奇函数则
f(－x)＝－f(x)
故
fˊ(－x)＝－[f(－x)]ˊ＝－[f(－x)]ˊ＝fˊ(x)即fˊ(x)为偶函数．
任取x∈(－l,l),则有fˊ(－x)＝－[f(－x)]ˊ,若f(x)为偶函数则f(－x)＝f(x),故fˊ(－x)＝－[f(－x)]ˊ＝－fˊ(x),即fˊ(x)为奇函数；若f(x)为奇函数则f(－x)＝－f(x),故fˊ(－x)＝－[f(－x)]ˊ＝－[f(－x)]ˊ＝fˊ(x),即fˊ(x)为偶函数．