证明:不存在任何n阶矩阵A,B,使得AB-BA=E

Question

貌似这个有点杀鸡用牛刀的感觉，希望有简单的方法

Answer 1

直接计算Trace(AB-BA)=Trace(AB)-Trace(BA)=0，但Trace(E)=n。所以不存在这样的矩阵。

至于杀鸡用牛刀的问题，我觉得，需要注意下面的一个事情。
假设V是一个线性空间，M是从V到V的线性映射。当V是有限维线性空间的时候，M可以写成矩阵的形式，仍然记成M，这时候有Trace(M)的定义。
如果V是无限维线性空间，一般不一定有Trace(M)的定义，而且确实有可能AB-BA=E。比如说V是（一元）多项式空间（也可以取成光滑函数空间或者解析函数空间），V里的元素都是一些函数，形如f(x)。这时候E作为恒等映射，把每个V中的元素映成自身，也就是Ef=f。现在取A把f映成f的导函数，即Af=f'；取B把f(x)映成g(x)=xf(x)，即Bf=xf。那么ABf-BAf=(xf)'-xf'=f=Ef，对任意f。也就是说AB-BA=E。
也就是说，对于无穷维的空间上的线性映射A、B，可以有AB-BA=E。只是对于有限维空间上的线性映射A、B，也就是n阶矩阵，才不可能AB-BA=E。而Trace又是对有限维算子能定义而对一般的无穷维算子不能定义的（因为Trace是“特征值”的和，而无穷维算子的“特征值”很多，加起来可能发散），所以可能比较适合这个问题。

Answer 2

楼上的做法是我见过的做得最好的做法，根本不存在杀鸡用牛刀的感觉，其他方法才是杀鸡用牛刀。