在 微分方程(1)-基本概念及分类 中，介绍了微分方程的基本概念，并总结了几种常见的一阶微分方程形式，它们分别是：
可分离变量方程 Separable Equations
齐次方程 Homogeneous Equations （注意这里是狭义的“齐次”）
恰当方程 Exact Equations
线性方程 Linear Equations
伯努利方程 Bernoulli Equations
下面分别介绍这几类常见微分方程的解法[1]。
【注意】
为了方便理解，每种解法后面都配有计算实例，在无法理解为什么这样解的时候可以参考一下对应的计算实例，希望有所帮助。
这五类一阶常系数微分方程解法依据求解的难易程度依次递进，最好按照本文顺序阅读。
1. 可分离变量方程 Separable Equations
方程通解
对于一阶可分离变量的微分方程：

为求其解，只需两端积分：

其中，  代表任意常数。
在实际情况中，上式的积分结果往往无法得到解析表达式。因此，通常采用数值方法得到近似解。就算上式的积分结果可以得到解析表达式，也可能得不到  关于变量  的显式表达式，那么解将保留隐式表达式。
例子：
求解：

此方程可以写为以下形式：

显然，此为可分离变量的微分方程。其中，  。其解为：

或写为：

为了求解  ，先得到解的隐式表达式：

其中，  。求解得到  的显式表达式：

初值问题的解
对于初值问题：

其可以通过上面的可分离变量微分方程解法进行求解，并通过附加的初值条件确定常数  的值。或者直接通过以下定积分进行求解：

其中  和  为积分变量。
2. 齐次方程 Homogeneous Equations
【注意】这里的“齐次”与一般的线性齐次微分方程中的“齐次”不是同一个概念，注意区分。
对于齐次微分方程：

其具有以下特性：

那么其可以通过代换令  ，其中，  也是关于  的函数，使之变为可分离变量的微分方程：

这样，可以用解可分离变量的方法得到变量  与变量  之间的关系。再通过“逆代法”求解原方程。或者，将原式写为：

并令  ，相应的微分为：

通过简化得到可分离变量形式。
例子：
求解：

该微分方程不是可分离变量的。但它具有以下形式：

其中：

而且满足：

因此，其为齐次微分方程。令  ，得到：

通过代数计算并简化：

此时式子就是可分离变量的微分方程了。解为：

因此有：

其中，  。
然后通过逆代法，  ，则有：

3. 恰当方程 Exact Equations
对于以下形式的微分方程：

如果存在函数  满足：

则称为“恰当方程”。
注意，可以验证：
如果  和  都是连续函数且在  平面上的具有一阶连续偏导。当且仅当下式成立时原方程为恰当方程：

假设原方程是恰当方程，即存在  满足：

又由于，原方程是：

即：

得到隐式表达式：

其中，  为任意常数。
积分因子
通常而言，原方程不是恰当方程。但是在某种特殊情形下却可以转化为满足恰当方程条件的微分方程。令积分因子  ，如果能够使得下式成为恰当方程。则原方程的解可由下式得到：

如果有：

即结果仅是  的函数。那么：

如果有：

即结果仅是  的函数。那么：

如果有：

那么：

通常该积分因子很难找到，如果微分方程不满足上面的可能情况，则需要采用其他方法进行求解。
例子1：
求解：

令  和  . 则有:

则该微分方程为恰当方程。因为该方程是恰当方程，因此，令函数  满足上式。
对于  ，由于  .
因此有：

注意：这里仅针对  进行积分，所以常数部分可以与  相关。
接着是要确定  .
对于  ，由  ，因此有：  .
所以有 
则有：

令  ，得到微分方程的隐式解：

显式解为：

例子2：
确定下列微分方程是否为恰当方程：

由微分形式微分方程可令：  和  因此：

因此，该微分方程不是恰当方程。
例子3：
判断  是否为以下微分方程的积分因子：

从上面的例子可知，原方程不是恰当方程，但是通过乘以  ，可得：

此时有：  和  .

即，转化后的方程为恰当方程，所以  是原微分方程的积分因子。
例子4：
求解：

除了上面的例子给出的积分因子  ，其实根据上面的积分因子方法可以求得用于将原方程转化为恰当方程的积分因子：
 和  因此：

因此，积分因子为：


此时有：

转化为了恰当方程。
因此可以用求解恰当方程的那一套方法来求解该微分方程。
对于  ，由于  .
因此有：

又：

所以有：

因此原微分方程的通解为：

4. 线性微分方程 Linear Equations
一阶线性微分方程具有以下形式：

可以先将该标准形式转化为微分形式看看：

然后，看看是否能转化为恰当方程。

发现结果仅仅与  有关，所以一阶线性微分方程都可以转化为恰当方程。
一旦转化为了恰当方程，自然就和上一个例子同样的套路，由上式  得到积分因子：

那么在等式  的两边同时乘以该积分因子。

该方程就被转化为了恰当方程。前面的例子已经描述了恰当方程的求解方法。
其实还有一种简洁的标记方法：

那么有：

对两边同时关于  积分：

因此：

例子：
求解：

显然，该微分方程是一阶线性常微分方程。
因此其可以转化为恰当方程。
积分因子为：

微分方程两边同乘积分因子：

对两边关于  积分：

5. 伯努利方程 Bernoulli Equations
伯努利方程具有以下形式：

其中，  为实数。令：

这样就将原伯努利方程转化成了关于函数  的一阶线性常微分方程。就可用求解线性微分方程的方法来求解原方程。
例子：
求解：

此微分方程不是线性方程，但却是  且  的伯努利方程。
令：

因此有：

则原方程转化为：

对于新的一阶线性微分方程，那么受上面一阶线性微分方程解法的启发，其积分因子为：

方程两边同乘积分因子：


两边积分：

得到转化后方程解：

得到原方程的解：

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