矩阵A的平方为零,A 不为零,求证A不能相似对角化.

Question

如题所述

Answer 1

假定A可以相似对角化,既存在可逆矩阵P,Q,PAQ=diag(a,b,.),其中diag(a,b,...)为A的标准型,左上角为其非0特征值,其余为0
首先,A的特征值不可以全部为0,否则PAQ=0=> A=0
其次：A=P'diag(a,b,.)Q',P',Q'为PQ的逆矩阵
A^2 = (P'diag(a,b,...)Q')(P'diag(a,b,...)Q') =0
P'[diag(a,b.)Q'P'diag(a,b.)]Q' =0
所以diag(a,b.)Q'P'diag(a,b.) =0
对diag(a,b,...)进行分块为
K1 0
0 0
K1为左上角不为0的特征值构成的方对角阵,其余都是0
对Q'P'进行类似的分块使得乘法可以进行,
Q'P'=
L1 L2
L3 L4
则diag(a,b,...) Q'P' =
K1L1 K1L2
0 0
diag(a,b,...) Q'P' diag(a,b,...)=
K1L1K1 0
0 0
由于diag(a,b,...) Q'P' diag(a,b,...)=0
所以K1L1K1 =0
但是K1,L1都是可逆方阵,这是不可能的,所以假设不成立A^2=0不可能