证明矩阵A和B对称的充分必要条件是AB=BA

Question

如题所述

Answer 1

题目不完全，首先应有A和B均为n阶对称矩阵的条件。
1、若A、B是对称矩阵，则根据对称矩阵的定义，（AB）T=AB，（T是上标，以下相同），
而根据转置矩阵的重要性质，（AB）T=（B）T（A）T，而B、A都是对称矩阵，(B)T=B,(A)T=A,，
所以AB=BA，即A和B可交换。
2、若AB=BA，即A和B是可交换矩阵，根据转置矩阵的重要性质，
（AB）T=（B）T（A）T，
而B、A都是对称矩阵，(B)T=B,(A)T=A,（B）T（A）T=BA，
故（AB）T=AB，
故AB是对称矩阵。