求证收敛数列加发散数列为发散数列

Question

如题所述

Answer 1

如果{an+bn}收敛

因{an}也收敛

对任何e

都有N1,N2

使k>N1就有 |(ak+bk) - L |<e/2,

k>N2有 |(ak) - A |<e/2

取k>N1,N2中较大者,有|bk-(L-A) |=|(ak+bk)-L+(ak-A)|< |(ak+bk) - L |+|(ak) - A |<e
可知{bn}也收敛,矛盾!

故{an+bn}发散.

把bn化入-bn可知{an-bn}发散.

{anbn}得看{an}的极限A:如果A=0则收歛,否则发散.

{an/bn}:如果{an}->A=0或{bn}->无限大则收敛,否则发散.

定义：

设数列{Xn}，如果存在常数a，对于任意给定的正数q（无论多小），总存在正整数N，使得n>N时，恒有|Xn-a|<q成立，就称数列{Xn}收敛于a（极限为a），即数列{Xn}为收敛数列（Convergent Sequences）。

性质：

唯一性：如果数列xn收敛，每个收敛的数列只有一个极限。

有界性：

定义：设有数列xn , 若存在M>0,使得一切自然数n,恒有|Xn|<M成立，则称数列xn有界。

定理1：如果数列{Xn}收敛，那么该数列必定有界。推论：无界数列必定发散；数列有界

，不一定收敛；数列发散不一定无界。数列有界是数列收敛的必要条件，但不是充分条件

保号性：

如果数列{Xn}收敛于a，且a>0（或a<0），那么存在正整数N，当n>N时，都有Xn>0（或Xn<0）。

Answer 2

收敛级数的基本性质（同济《高等数学》第五版下册189页性质2）：
如果级数∑Un，∑Vn都收敛，则∑(Un±Vn)也收敛，且∑(Un±Vn)=∑Un±∑Vn
依这条性质，使用反证法就可以证明了。
证：反设∑(An+Bn)收敛，∵∑An收敛，∴∑[(An+Bn)-An]=∑Bn收敛，与已知∑Bn发散矛盾，∴∑(An+Bn)发散。追问

帮我看看这样可以吗？无视右边方框

追答

恩，可以用绝对值性质

Answer 3

a(n)-b(n)=c(n),
假设{c(n)}为收敛数列,则
b(n)=a(n)-c(n)
也收敛，矛盾追问

帮我看看这样可以吗？无视右边方框

追答

发散不是这样定义的，定义为"不收敛"

追问

我证明了它为无穷大，所以它发散，这样不可以吗

Answer 4

用反证法
设{an+bn}收敛
根据收敛的定义，an数列和an+bn数列都有极限
所以可以设lim（n→∞）an=c
lim（n→∞）（an+bn）=d
那么根据极限是四则运算，有
lim（n→∞）bn=lim（n→∞）[（an+bn）-an]
=lim（n→∞）（an+bn）-lim（n→∞）an
=d-c
所以bn也有极限，bn也收敛
这和题目规定bn发散矛盾
所以an+bn也发散。追问

帮我看看这样可以吗？无视右边方框

追答

这样证明不是很正确啊
计算证明了|an+bn|≥a-m，也无法证明
lim（n→∞）{an+bn）不存在啊。
注意，数列收敛和级数收敛是两个不同的概念。
数列an收敛，是指lim（n→∞）an存在
级数Σan收敛，是指lim（n→∞）（a1+a2+a3+……an）极限存在。
你是把级数收敛的判定条件用于数列收敛的判定了。
级数收敛中，如果级数的每项的极限不是0，那么级数不收敛、所以你证明n充分大后，|an+bn|不小于一个正数a-m，所以级数Σ（an+bn）不收敛。
但是这和数列an+bn收敛还是不收敛无关啊。

你搞错的定义了。

追问

好，我思考一下

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