怎么证明收敛数列加发散数列为发散数列？

Question

如题所述

Answer 1

如果{an+bn}收敛

因{an}也收敛

对任何e

都有N1,N2

使k>N1就有 |(ak+bk) - L |<e/2,

k>N2有 |(ak) - A |<e/2

取k>N1,N2中较大者,有|bk-(L-A) |=|(ak+bk)-L+(ak-A)|< |(ak+bk) - L |+|(ak) - A |<e
可知{bn}也收敛,矛盾!

故{an+bn}发散.

把bn化入-bn可知{an-bn}发散.

{anbn}得看{an}的极限A:如果A=0则收歛,否则发散.

{an/bn}:如果{an}->A=0或{bn}->无限大则收敛,否则发散.

定义：

设数列{Xn}，如果存在常数a，对于任意给定的正数q（无论多小），总存在正整数N，使得n>N时，恒有|Xn-a|<q成立，就称数列{Xn}收敛于a（极限为a），即数列{Xn}为收敛数列（Convergent Sequences）。

性质：

唯一性：如果数列xn收敛，每个收敛的数列只有一个极限。

有界性：

定义：设有数列xn , 若存在M>0,使得一切自然数n,恒有|Xn|<M成立，则称数列xn有界。

定理1：如果数列{Xn}收敛，那么该数列必定有界。推论：无界数列必定发散；数列有界

，不一定收敛；数列发散不一定无界。数列有界是数列收敛的必要条件，但不是充分条件

保号性：

如果数列{Xn}收敛于a，且a>0（或a<0），那么存在正整数N，当n>N时，都有Xn>0（或Xn<0）。