两个基过渡矩阵定理证明

Question

如题所述

Answer 1

引言

基过渡矩阵定理是线性代数中的一个重要定理，它描述了对于任意一个向量空间，如果将其基换成另外一个基，则可以通过一个具有特殊形式的矩阵将新基下的向量映射到旧基下的向量。有了这个定理，我们可以方便地研究向量空间在不同基下的表现以及变换之间的联系，本文将通过证明两个基过渡矩阵定理来进一步理解这个定理的内涵。

前置知识：向量空间和线性变换

在学习基过渡矩阵定理之前，我们需要了解一些与向量空间和线性变换相关的基本概念。向量空间是指一个由一组向量组成的集合，其中的向量支持数乘和向量加法运算，同时满足一定的公理和规定。线性变换则是指在向量空间内定义的满足某些基本性质（如线性性）的变换。通过线性变换，我们可以将一个向量空间内的向量映射到另外一个向量空间内的向量，实现向量空间之间的变换。

定理1：基过渡矩阵定理

在数学中，基过渡矩阵定理（Base Change Matrix Theorem）是一个重要的结论，它描述了当向量空间的基从一个向量组变换到另一个向量组时，向量坐标发生的变换关系。具体来说，设向量空间V有两个基B和B\'，它们的基向量分别为{v1,v2,...,vn}和{v\'1,v\'2,...,v\'n}，则当向量v在B表示为坐标向量x=(x1,x2,...,xn)时，它在B\'下的坐标向量为y=(y1,y2,...,yn) = P^(-1)x，其中P是由B\'表示为线性组合基底的系数矩阵，P的第j列就是向量vj在B\'下表示的系数向量。

证明1：基过渡矩阵定理的证明

我们可以通过构造两个向量空间之间的线性变换来证明基过渡矩阵定理。考虑将向量 v 在 B 空间中的坐标表示为 x=(x1,x2,...,xn)，同时设向量空间 V 上的一个线性变换 T:B→B\'，它是由基向量的线性组合表示的，即T(vi)=a\'1i v\'1+a\'2i v\'2+...+a\'ni v\'n，其中a\'ji是一个常数。

我们可以将这个线性变换表示为矩阵 A\'=（a\'ij），其中矩阵 A\' 的第 j 列就是基向量 vj 在 B\' 基下的坐标向量。另一方面根据基的定义，任意一个向量 v 在 B 和 B\' 基下表示的向量分别为 x=(x1,x2,...,xn) 和 y=(y1,y2,...,yn)，则它们满足以下关系式：y1=a\'11 x1+a\'12 x2+...+a\'1n xn，y2=a\'21 x1+a\'22 x2+...+a\'2n xn，...，yn=a\'n1 x1+a\'n2 x2+...+a\'nn xn。将这些关系式表示为矩阵形式，则有 y=A\'x，其中 A\' 就是我们上面定义的矩阵。

接下来我们需要证明 y=P^(-1)x，其中 P 的第 j 列是向量 vj 在 B\' 下的坐标向量。根据矩阵的转置和逆的性质，P^(-1)A\'=P^(-1)T(P)，即 A\'=PTP^(-1)。将这个式子代入上面的 y=A\'x 中，则有 y=PTP^(-1)x=P^(-1)x。此时我们证明了当向量空间的基从 B 变换到 B\' 时，向量 x 在 B 下的坐标表示 y 与在 B\' 下的坐标表示 y=P^(-1)x 之间的关系。

定理2：基过渡矩阵逆定理

基过渡矩阵逆定理是基过渡矩阵定理的一个推论，它描述了当向量空间的基从一个向量组变换到另一个向量组时，过渡矩阵和逆过渡矩阵之间的关系。

证明2：基过渡矩阵逆定理的证明

设向量空间V有两个基B和B\'，它们的基向量分别为{v1,v2,...,vn}和{v\'1,v\'2,...,v\'n}，则根据基过渡矩阵定理的证明，我们知道过渡矩阵 P=[v\'1,v\'2,...,v\'n] 与逆过渡矩阵 P^(-1)=[v1,v2,...,vn] 之间的关系为 P^(-1)=P^(-1)I=P^(-1)PP^(-1)=(PP^(-1))P^(-1)=PI=P。需要注意的是，这里的 I 是 n 阶单位矩阵，它满足 Ix=x，其中 x 是一个 n 维向量。

结论

通过上面的证明，我们知道，当向量空间的基从一个向量组变换到另一个向量组时，过渡矩阵和逆过渡矩阵之间的关系非常简单，它们互为逆矩阵。而这个结论也揭示出线性代数中一个非常重要的思想，即相似变换的本质不在于改变向量空间内向量的坐标表示，而是在于更合适的基底可以展现出向量的真正性质。通过更换基底，我们可以更方便地研究线性变换之间的联系和相互作用，这对于解决很多实际问题都非常有帮助。