判定下列正项级数的收敛性？

Question

请问括号8怎么做

Answer 1

简单计算一下即可，答案如图所示

追问

请问第一步分母上的根号n是怎么化简出来的..

Answer 2

分享解法如下。∵1/[√(n+1)-√(n-1)]=(1/2)[√(n+1)+√(n-1)]，而n→∞时，√(n+1)+√(n-1)~2√n。
∴原级数与级数∑(√n)/n²有相同的敛散性。又，∑(√n)/n²=∑1/n^(3/2)收敛。∴原级数收敛。

Answer 3

1/[√(n+1) - √(n-1)]
=[√(n+1) + √(n-1)]/2
又1=[√(n+1) + √n]*[√(n+1) - √n]=[√n + √(n-1)]*[√n - √(n-1)]
且√(n+1) + √n＞√n + √(n-1)＞0
所以0＜√(n+1) - √n＜√n - √(n-1)
即√(n+1)+√(n-1)＜2√n
因此0＜an＜2√n/n²=2/n^(3/2)
根据p级数判定法，此时p=3/2，级数收敛。

Answer 4

分母有理化就可以了

an=[√(n+1)+ √(n-1)]/(2n^2)
~√n/n^2，
收敛