如何用微积分证明抛物线y^2=2 px？

Question

如题所述

Answer 1

解：已知：抛物线y^2=2px，（p>0)
y'=dy/dx=p/y, dx=(y/p)dy
根据弧长的微分公式：ds=[(1+y'^2)^(1/2)]dx。
对于曲线上的任一点M(x,y)来说，从顶点到M点的弧长为对ds进行积分，即从0积到y.
S=∫[(1+y'^2)^(1/2)]dx（从0积到y）
=∫{[1+(p/y)^2]^(1/2)}(y/p)dy （从0积到y）
=(1/p)∫[p^2+y^2]^(1/2)]dy （从0积到y）
由积分表可知：∫[p^2+y^2]^(1/2)]dy =(y/2)(p^2+y^2)^(1/2)+[(p^2)/2]ln[y+(p^2+y^2)^(1/2)]+C
得：S=(1/p){(y/2)(p^2+y^2)^(1/2)+[(p^2)/2]ln[y+(p^2+y^2)^(1/2)]-lnp}
=(y/2p)(p^2+y^2)^(1/2)+(p/2)ln[y+(p^2+y^2)^(1/2)]/p]
分析：对∫[p^2+y^2]^(1/2)]dy =(y/2)(p^2+y^2)^(1/2)+[(p^2)/2]ln[y+(p^2+y^2)^(1/2)]+C
这个结果想证明的话，令y=p*sht，从而
(p^2+y^2)^(1/2)=p*cht , dy=p*cht*dt
代入得：∫[p^2+y^2]^(1/2)]dy =(p^2)∫[(cht)^2]dt
=(p^2)[t/2+(1/4)sh2t]+C
注意到： y+(p^2+y^2)^(1/2)=p(sht+cht)=pe^t
t=ln[y+(p^2+y^2)(1/2)]/p, sh2t=2sht*cht=2y[(p^2+y^2)(1/2)]/p^2
最后得：∫[p^2+y^2]^(1/2)]dy =(y/2)(p^2+y^2)^(1/2)+[(p^2)/2]ln[y+(p^2+y^2)^(1/2)]+C
双曲函数：sht=[e^t-e^(-t)]/2 cht=[e^t+e^(-t)]/2