计算二重积分。 ∫∫根下｛（1-x^2-y^2）/(1+x^2+y^2)｝dσ，D：x＾2+y＾2=1及坐标轴所围成的第一象限区域

如题所述

推荐答案 2020-03-29

使用极坐标来做比较简单，
令x=r*sina，y=r*cosa，
则x^2+y^2=r^2，
而积分区域d是由x^2+y^2=1，x=0，y=0所围成区域在第一象限内部分，
所以r的范围是0到1，而角度a的范围是0到π/2
故原积分
=
∫∫
1/(1+x^2+y^2)
dxdy
=
∫∫
r
/(1+r^2)
dr
da
=
∫(上限1，下限0)
r
/(1+r^2)
dr
*
∫(上限π/2，下限0)
da
显然
∫(上限1，下限0)
r
/(1+r^2)
dr
=
0.5
*∫(上限1，下限0)
1
/(1+r^2)
d(r^2)
=
0.5ln|(1+r^2)|
代入上限1，下限0
=0.5ln2
而
∫(上限π/2，下限0)
da=
π/2
所以
原积分=
0.5ln2
*
π/2
=
(π/4)
*
ln2

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