数列{an}收敛,则任意加上或去掉有限项后数列{an}仍然收敛？

Question

为什么？

Answer 1

这不是一个定理吗？
去掉的场合很好证明，因为去掉有限项了以后所得到的数列是原数列的一个子列，而原数列收敛则子列也必然收敛。
添加的场合要用极限的几何定义。标准定义说对任意E>0，存在N，当n>N时，|an-A|<E。而|an-A|<E等价于A-E<an<A+E，相当于当n>N时，所有的an都落在开区间(A-E,A+E)当中，开区间外最多有N个原数列的项。那么添加有限项（设有k项）了之后，不管这k项是在开区间内还是开区间外，在外面的一定最多也只有N+k项，其他所有的项依然是在区间内，所以依然收敛。