求由柱面x^2+y^2=1+抛物面z=x^2+y^2及平面z=0所围成的区域的形心

Question

如题所述

Answer 1

我们可以使用体积加权平均值法来求解这个问题。具体来说，我们可以将该区域分解为无数个微小的体积元，并对每个体积元进行体积和重心的计算，最后将它们加权平均得到整个区域的形心。
首先，我们可以将柱面和抛物面的交线表示为参数方程：
x = cos(t)
y = sin(t)
z = 1 + cos^2(t)
其中 t 的范围为 [0, 2π]。
然后，我们可以将该区域分解为无数个微小的体积元，每个体积元都由某个面元和相邻的两个平面元围成。这些平面元可以表示为：
z = 0
0 ≤ z ≤ 1 + cos^2(t)
0 ≤ t ≤ 2π
根据微积分中的定积分的概念，我们可以用以下公式计算该区域的体积：
V = ∫∫(1+cos^2(t))dA
其中 dA 是面元的微元面积，可以表示为：
dA = r dr dt
因此，我们有：
V = ∫[0,2π]∫[0,1+cos^2(t)] r dr dt = 2π/3(3+π)
接下来，我们需要计算每个微小体积元的质心坐标。根据体积加权平均值法，该区域的形心坐标可以表示为：
(xc, yc, zc) = (1/V) ∫∫∫ (x, y, z) dV
其中 dV 是体积元的微元体积，可以表示为：
dV = r dr dt dz
因此，我们有：
xc = (1/V) ∫[0,2π]∫[0,1+cos^2(t)]∫[0,z] r^2 cos(t) r dr dt dz
= 0
yc = (1/V) ∫[0,2π]∫[0,1+cos^2(t)]∫[0,z] r^2 sin(t) r dr dt dz
= 0
zc = (1/V) ∫[0,2π]∫[0,1+cos^2(t)]∫[0,z] r^3 (1 + cos^2(t)) r dr dt dz
= 8/(15+6π)
因此，该区域的形心坐标为 (0, 0, 8/(15+6π))。