对左边级数积分后得到x^n的和函数为x/(1-x)。
然后对x/(1-x)求导得到左边级数的和函数为s(x)=(1-x+x)/(1-x)^2 = 1/(1-x)^2。
右侧的级数是1/2 *s(1/2) = 2。
这正是首项为x，公比为-x^2的等比级数的收敛函。
因此，直接可推：f(x)=x-x^3+x^5-……=∑(n=0,∞) (-1)^n * x^(2n+1)，x∈(-1,1) 。
扩展资料：
幂函数的5261性质：
一、当α为整数时，α的正4102负性和奇偶性决定了函数的单调性：1653
1、当α为正奇数时，图像在定义域为R内单调递增。
2、当α为正偶数时，图像在定义域为第二象限内单调递减，在第一象限内单调递增。
3、当α为负奇数时，图像在第一三象限各象限内单调递减（但不能说在定义域R内单调递减）。
4、当α为负偶数时，图像在第二象限上单调递增，在第一象限内单调递减。
解：1/(1-x)²=【1/（1-x）】
=（∞∑n²·xⁿ）
=∞∑n1·nx^n-1
例如：求x/(1-x^2)展开为x的幂级数
f(x)=x/(1-x^2)
=x/(1-x)(1+x)
=(1/2)*[1/(1-x)
1/(1+x)]
因为1/(1-x)=∑(n=0,∞)
x^n，x∈(-1,1)
1/(1+x)=∑(n=0,∞)
(-x)^n，x∈(-1,1)
所以
f(x)=(1/2)*∑(n=0,∞)
[1-(-1)^n]
x^n，x∈(-1,1)
或
f(x)=x+x^3+x^5+……=∑(n=0,∞)
x^(2n+1)，x∈(-1,1)
x/(1-x^2)=lim(n→∞)
x(1-0)/(1-x^2)
=lim(n→∞)
x(1-(x^2)^n)/(1-x^2)
幂级数，是数学分析当中重要概念之一，是指在级数的每一项均为与级数项序号n相对应的以常数倍的（x-a）的n次方（n是从0开始计数的整数，a为常数）。幂级数是数学分析中的重要概念，被作为基础内容应用到了实变函数、复变函数等众多领域当中。
幂级数，是数学分析当中重要概念之一，是指在级数的每一项均为与级数项序号n相对应的以常数倍的（x-a）的n次方（n是从0开始计数的整数，a为常数）。 幂级数是数学分析中的重要概念，被作为基础内容应用到了实变函数、复变函数等众多领域当中。 函数列， 则称为函数项级数。
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