用切割线定理证明:
圆内接四边形的对角和为180°,并且任何一个外角都等于它的内对角。
如四边形ABCD内接于圆O,延长AB和DC交至E,过点E作圆O的切线EF,AC、BD交于P,则A+C=π,B+D=π,
角DBC=角DAC(同弧所对的圆周角相等)
角CBE=角ADE(外角等于内对角)
△ABP∽△DCP(三个内角对应相等)
AP*CP=BP*DP(相交弦定理)
EB*EA=EC*ED(割线定理)
EF*EF= EB*EA=EC*ED(切割线定理)
(切割线定理,割线定理,相交弦定理统称圆幂定理)
AB*CD+AD*CB=AC*BD(托勒密定理Ptolemy)
其他的证明四点共圆的基本原理:
方法1: 把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形,且两三角形都在这底边的同侧,若能证明其顶角相等,从而即可肯定这四点共圆。(可以说成:若线段同侧二点到线段两端点连线夹角相等,那么这二点和线段二端点四点共圆)
方法2 :把被证共圆的四点连成四边形,若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时,即可肯定这四点共圆。(可以说成:若平面上四点连成四边形的对角互补或一个外角等于其内对角,那么这四点共圆)
用切割线定理证明:
圆内接四边形的对角和为180°,并且任何一个外角都等于它的内对角。
如四边形ABCD内接于圆O,延长AB和DC交至E,过点E作圆O的切线EF,AC、BD交于P,则A+C=π,B+D=π,
角DBC=角DAC(同弧所对的圆周角相等)
角CBE=角ADE(外角等于内对角)
△ABP∽△DCP(三个内角对应相等)
AP*CP=BP*DP(相交弦定理)
EB*EA=EC*ED(割线定理)
EF*EF= EB*EA=EC*ED(切割线定理)
(切割线定理,割线定理,相交弦定理统称圆幂定理)
AB*CD+AD*CB=AC*BD(托勒密定理Ptolemy)
圆内接四边形判定定理
1、如果一个四边形的对角互补,那么这个四边形内接于一个圆;
2、如果一个四边形的外角等于它的内对角,那么这个四边形内接于一个圆;
3、如果一个四边形的四个顶点与某定点等距离,那么这个四边形内接于以该点为圆心的一个圆;
4、若有两个同底的三角形,另一顶点都在底的同旁,且顶角相等,那么这两个三角形有公共的外接圆;
5、如果一个四边形的张角相等,那么这个四边形内接于一个圆;
以上内容参考 百度百科—圆内接四边形
本回答被网友采纳证明:用反证法
过A,B,D作圆O,假设C不在圆O上,刚C在圆外或圆内,若C在圆外,设BC交圆O于C’连结DC’,根据圆内接四边形的性质得∠A+∠DC’B=180°,
∵∠A+∠C=180°∴∠DC’B=∠C
这与三角形外角定理矛盾,故C不可能在圆外。类似地可证C不可能在圆内。
∴C在圆O上,也即A,B,C,D四点共圆。
反证法的逻辑原理
逆否命题和原命题的真假性相同。
若原命题:为真
先对原命题的结论进行否定,即写出原命题的否定:p且¬q。
从结论的反面出发,推出矛盾,即命题:¬q且p为假(即存在矛盾)。
从而该命题的逆否为真。
再利用原命题和逆否命题的真假性一致,即原命题:p⇒q为真。
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