二重积分（x+y）^2和二重积分（x+y）^3其中积分区域D是由（x-2）^2+（y-1）^2＝2

Question

二重积分（x+y）^2和二重积分（x+y）^3其中积分区域D是由（x-2）^2+（y-1）^2＝2这个比较大小怎么比较

Answer 1

如下：

图中积分区域为圆形内部，圆心为（2，1），圆半径为√2

两积分值相减，得(x+y)³-(x+y)²=(x+y-1)(x+y)²

其中(x+y)²总是大于零，结合图示分析(x+y-1)与(x+y)²，容易知道CD区域积分大于零，BA积分区域也大于零，而圆内正文形内积分值显然也大于零，所以∫∫(x+y)³-(x+y)²dσ大于零，即

∫∫(x+y)³dσ>∫∫(x+y)²dσ

几何意义

在空间直角坐标系中，二重积分是各部分区域上柱体体积的代数和，在xoy平面上方的取正，在xoy平面下方的取负。某些特殊的被积函数f（x，y）的所表示的曲面和D底面所为围的曲顶柱体的体积公式已知，可以用二重积分的几何意义的来计算。

Answer 2

图中积分区域为圆形内部，圆心为（2，1），圆半径为√2

两积分值相减，得(x+y)³-(x+y)²=(x+y-1)(x+y)²

其中(x+y)²总是大于零，结合图示分析(x+y-1)与(x+y)²，容易知道CD区域积分大于零，BA积分区域也大于零，而圆内正文形内积分值显然也大于零，所以∫∫(x+y)³-(x+y)²dσ大于零，即

∫∫(x+y)³dσ>∫∫(x+y)²dσ

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Answer 3

圆周方程展开，考察x+y的值，变形为一端为x+y，另一端为（（x-1）^2+y^2+2)/2,点（1，0）存在，所以x+y大于等于1，答案有了