计算二重积分∫∫√(x^2+y^2)dxdy,其中D是由x^2+y^2

Question

如题所述

Answer 1

化成极坐标，x^2+y^2≤2x，变成r=2cosθ

积分区域；0≤r≤2cosθ，

π/2≤θ≤π/2，

区域以X轴为上下对称，只求第一象限区域，再2倍即可，

I=2∫[0,π/2] dθ∫[0,2cosθ] r*rdr

=2∫[0,π/2] dθ (r^3/3)[0,2cosθ]

=(2/3)∫[0,π/2] *8(cosθ)^3 dθ

=（16/3）∫[0,π/2] [1-(sinθ)^2]d(sinθ)

=(16/3)[sinθ-(sinθ)^3/3] [0,π/2]

=(16/3)[1/2-1/8)

=32/9

扩展资料

意义

当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积。

当被积函数小于零时，二重积分是柱体体积负值。

几何意义

在空间直角坐标系中，二重积分是各部分区域上柱体体积的代数和，在xoy平面上方的取正，在xoy平面下方的取负。某些特殊的被积函数f（x，y）的所表示的曲面和D底面所为围的曲顶柱体的体积公式已知，可以用二重积分的几何意义的来计算。

Answer 2

简单计算一下即可，答案如图所示