微积分的应用题

Question

设矩形的周长为120厘米，以矩形的一边为轴旋转一周得以圆柱体，试求矩形的边长为多少时，才能使圆柱体的体积最大。
想要详细的解题过程，可以吗？谢谢

Answer 1

设矩形的两条边位a.b
由题意可知，2*（a+b）=120

假设以a为边旋转，得到的圆柱体体积为v
则v=∏a^2*b a的范围是0＜a＜60

∴v=∏a^2*(60-a)=60∏a^2-∏a^3
对其求导得v’=120∏a-3∏a^2
由v’=0得a=40,a=0(舍去)
∴当a=40，b=20,v最大
所以矩形的边长为40厘米，20厘米，圆柱体体积最大

Answer 2

设矩形宽X高60-X,则圆柱体体积V=(PI)X^2(60-X)
V的导数=120X(PI)-3(PI)X^2
令V的导数=0可得X=40.即矩形边长为40厘米和20厘米，
以矩形的20厘米边为轴旋转一周得圆柱体体积最大。

Answer 3

40